Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，AC与DE交于点F．

（1）求证：CE∥AD；

（2）求证：AC2＝ABAD；

（3）若AC＝2，AB＝4，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）欲证明CE∥AD，只要证明∠ACE＝∠CAD即可；

（2）由AC平分∠DAB得∠DAC＝∠CAB，加上∠ADC＝∠ACB＝90°，可证△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质即可得到结论；

（3）先求AD的长，CE的长，通过证明△AFD∽△CFE，可得．

证明：（1）∵E为AB中点，∠ACB＝90°

∴CE＝AB＝AE，

∴∠EAC＝∠ECA，

∵∠DAC＝∠CAB，

∴∠DAC＝∠ECA，

∴CE∥AD；

（2）证明：∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC＝∠CAB，

∵∠ADC＝∠ACB＝90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴，

∴AC2＝ABAD；

（3）由（2）证得，AC2＝ABAD，

∵AC＝2，AB＝4，

∴12＝4AD，

∴AD＝3，

∵∠ACB＝90°，E为AB的中点，

∴CE＝AB＝2，

∵CE∥AD

∴△AFD∽△CFE，

∴．