Question

5．阅读下列材料：
∵1×$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{3}$$-\frac{1}{4}$；$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$
∴$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}$=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$=1-$\frac{1}{5}$=$\frac{4}{5}$
解答问题：（1）在式子$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}$+…中，第6项存在的等式为$\frac{1}{7×8}$，第n项存在的等式为$\frac{1}{n（n+1）}$
（2）$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$
（3）解方程：$\frac{1}{x（x+2）}+\frac{1}{（x+2）（x+4）}+…+\frac{1}{（x+8）（x+10）}$=$\frac{5}{24x}$．

Answer 1

分析 （1）观察一系列等式，得到一般性规律，写出即可；
（2）原式利用拆项法变形，计算即可得到结果；
（3）方程左边利用拆项法变形，计算即可求出解．

解答 解：（1）第6项的等式为$\frac{1}{7×8}$，$\frac{1}{n（n+1）}$；
（2）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
（3）方程整理得：$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{x+2}$-$\frac{1}{x+4}$+…+$\frac{1}{x+8}$-$\frac{1}{x+10}$）=$\frac{5}{24x}$，
即$\frac{10}{x（x+10）}$=$\frac{5}{12x}$，即x+10=24，
解得：x=14，
经检验x=14是分式方程的解．
故答案为：（1）$\frac{1}{7×8}$，$\frac{1}{n（n+1）}$；（2）$\frac{n}{n+1}$

点评 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．