Question

【题目】在Rt△ABC中，∠A＝30°，在AB边上取点D，以BD为直径作⊙O，与AC边切于点F，交BC边于点E．

（1）若BC＝3，求⊙O的半径；

（2）①连接OF、EF，则四边形OFEB的形状为　 　；

②写出你的推断过程．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）①菱形；②证明详见解析．

【解析】

（1）连接OF，根据直角三角形的性质求出AB，证明△AOF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到＝，代入计算得到答案；

（2）①根据图形猜想即可；

②根据等边三角形的判定定理得到△BOE为等边三角形，得到BE＝OB＝OE，根据菱形的判定定理证明结论．

解：（1）连接OF，

在Rt△ABC中，∠A＝30°，

∴AB＝2BC＝6，

∵AC是⊙O的切线，

∴OF⊥AC，又BC⊥AC，

∴OF∥BC，

∴△AOF∽△ABC，

∴＝，即＝，

解得，OF＝2，即⊙O的半径为2；

（2）①四边形OFEB的形状为菱形，

故答案为：菱形；

②在Rt△ABC中，∠A＝30°，

∴∠B＝60°，

∵OB＝OE，∠B＝60°，

∴△BOE为等边三角形，

∴BE＝OB＝OE，

∵OF∥BC，BE＝OF，

∴四边形OFBE为平行四边形，

∵BE＝OB，

∴四边形OFEB的形状为菱形．