Question

12．如图，点O是正方形ABCD中的对称中心，AB=2，将正方形ABCD绕点O旋转任意角度至正方形A′B′C′D′，直线AA′与直线BB′交于点P，则线段PD长度的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 1
• C． $\sqrt{5}$+1
• D． $\sqrt{5}$-1

Answer 1

分析 连接OA，OA′，OB，OB′，根据正方形的性质得到OA=OB，OA′=OB′，∠AOB=∠A′0B′=90°，求得∠AOA′=∠BOB′，推出△OAA′≌△OBB′，得到∠OAA′=∠OBB′，求得∠APB=90°，即点P在以AB为直径的圆上，结论DE并延长交⊙E于P，此时PD最大，根据勾股定理求得结果．

解答 解：连接OA，OA′，OB，OB′，
∵四边形ABCD，四边形A′B′C′D′是正方形，
∴OA=OB，OA′=OB′，∠AOB=∠A′0B′=90°，
∴∠AOA′=∠BOB′，
在△OAA′与△BOB′中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOA′=∠BOB′}\\{OA′=OB′}\end{array}\right.$，
∴△OAA′≌△OBB′，
∴∠OAA′=∠OBB′，
∵∠OAB=∠OBC=45°，
∴∠PAB=∠CBB′，
∴∠PAB+∠PBA=∠CBB′+∠PBA=90°，
∴∠APB=90°，
即点P在以AB为直径的圆上，结论DE并延长交⊙E于P，此时PD最大，
PD=PE+DE=$\frac{1}{2}$AB+$\sqrt{A{D}^{2}+（\frac{1}{2}AB）^{2}}$=$\sqrt{5}$+1，
∴线段PD长度的最大值为$\sqrt{5}+1$．
故选C．

点评 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．