Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B（A在B的左侧），抛物线的对称轴为直线x=1，AB=4．

（1）求抛物线的表达式；

（2）抛物线上有两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜1，x2＞1，x1+x2＞2，试判断y1与y2的大小，并说明理由；

（3）平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴交于点D，记平移后的抛物线顶点为点P

①若△ODP是等腰直角三角形，求点P的坐标；

②在①的条件下，直线x=m（0＜m＜3）分别交线段BP、BC于点E、F，且△BEF的面积：△BPC的面积=2：3，直接写出m的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）y1＜y2；（3）m的值为1或3﹣2．

【解析】分析：（1）先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；

（2）根据抛物线的解析式判断出点M、N的大概位置，再根据点M、N的横坐标的范围判断函数值的大小即可；

（3）①作PH⊥x轴于H，根据等腰三角形的性质得到PH=OH=OD，把问题分为：当点D在x轴的正半轴上，当点D在x轴的负半轴上，设出P点的坐标求解即可；

②当点D在x轴的正半轴上，延长HP交BC于Q，根据待定系数法求出直线BP的解析式和直线BC的解析式；然后根据△BEF的面积：△BPC的面积=2：3，求出m的值；当点D在x轴的负半轴上，延长HP交BC于Q，同理求出直线BP的解析式，同上求出m的值.

详解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，AB=4，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣3），

即y=x2﹣2x﹣3；

（2）y1＜y2；理由如下：

∵x1＜1，x2＞1，

∴M、N在对称轴的两侧，

∵x1+x2＞2，

∴x2﹣1＞1﹣x1，

∴点N到直线x=1的距离比M点到直线x=1的距离远，

∴y1＜y2；

（3）①作PH⊥x轴于H，

∵△OPD为等腰直角三角形，

∴PH=OH=OD，

当点D在x轴的正半轴上，如图1，

设P（m，﹣m），则D（2m，0），

设抛物线的解析式为y=x（x﹣2m），

把P（m，﹣m）代入得m（m﹣2m）=﹣m，解得m1=0（舍去），m2=1，即P（1，﹣1）；

当点D在x轴的负半轴上，如图2，

设P（m，m），则D（2m，0），

设抛物线的解析式为y=x（x﹣2m），

把P（m，m）代入得m（m﹣2m）=m，解得m1=0（舍去），m2=﹣1，即P（﹣1，﹣1）；

综上所述，P点坐标为（1，﹣1）或（﹣1，﹣1）；

②当点D在x轴的正半轴上，如图1，延长HP交BC于Q，

设直线BP的解析式为y=px+q，

把B（3，0），P（1，﹣1）代入得，解得，

∴直线BP的解析式为y=x﹣，

易得直线BC的解析式为y=x﹣3；

则Q（1，﹣2），E（m，m﹣），F（m，m﹣3），

S△PBC=×1×3=，

∵△BEF的面积：△BPC的面积=2：3，

∴S△BEF=1，

∴（﹣m+）（3﹣m）=1，解得m1=5（舍去），m2=1；

当点D在x轴的负半轴上，如图2，延长HP交BC于Q，

同理可得直线BP的解析式为y=x﹣，

则Q（﹣1，﹣4），E（m， m﹣），F（m，m﹣3），

S△PBC=×3×3=，

∵△BEF的面积：△BPC的面积=2：3，

∴S△BEF=3，

∴（﹣m+）（3﹣m）=3，解得m1=3+2（舍去），m2=3﹣2，

综上所述，m的值为1或3﹣2．