Question

【题目】如图，等边△ABC中，AB＝，3BP＝4CP，∠BPC＝120°，那么线段AP的长度是_____．

Answer 1

【答案】.

【解析】

延长BP至Q，使PQ＝PC，连接QA、QC，作AD⊥PQ于D，证明△PCQ是等边三角形，得出∠PCQ＝∠PQC＝60°，QC＝PC，证出∠ACQ＝∠BCP，证明△ACQ≌△BCP（SAS），得出AQ＝BP，∠AQC＝∠BPC＝120°，得出∠AQP＝120°﹣60°＝60°，由直角三角形的性质得出DQ＝AQ，AD＝DQ．设PQ＝PC＝3a，则AQ＝BP＝4a，得出DQ＝2a，AD＝2a，PD＝PQ﹣DQ＝a，BD＝BP+PD＝5a，在Rt△ABD中，由勾股定理得出方程，得出PD＝1，AD＝2，由勾股定理即可得出答案．

延长BP至Q，使PQ＝PC，连接QA、QC，作AD⊥PQ于D，如图所示：

∵∠BPC＝120°，

∴∠CPQ＝60°，

∵PQ＝PC，

∴△PCQ是等边三角形，

∴∠PCQ＝∠PQC＝60°，QC＝PC，

∵△ABC是等边三角形，

∴BC＝AC＝AB＝，∠ACB＝60°，

∴∠ACQ＝∠BCP，

在△ACQ和△BCP中，，

∴△ACQ≌△BCP（SAS），

∴AQ＝BP，∠AQC＝∠BPC＝120°，

∴∠AQP＝120°﹣60°＝60°，

∵AD⊥PQ，

∴∠QAD＝30°，

∴DQ＝AQ，AD＝DQ，

∵3BP＝4CP，

∴设PQ＝PC＝3a，则AQ＝BP＝4a，

∴DQ＝2a，AD＝2a，

∴PD＝PQ﹣DQ＝a，

∴BD＝BP+PD＝5a，

在Rt△ABD中，由勾股定理得：（5a）2+（2a）2＝（）2，

解得：a＝1，

∴PD＝1，AD＝2，

∴AP＝＝＝；

故答案为：．