Question

【题目】如图1，在△ABC中，点P为BC边上一点，设BP＝x，AP2＝y，已知y是x的二次函数的一部分，其图象如图2，点Q（2，12）是图象上的最低点，且图象与y轴交于（0，16）．

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）当△ABP为直角三角形时，BP的值是多少？

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+16（0≤x≤12）；（2）当△ABP为直角三角形时，BP的值是2或8．

【解析】

（1）根据二次函数的顶点式设出抛物线解析式，再将点（0，16）代入即可得出结论；

（2）先根据图2，判断出AB＝4，BH＝2，BC＝12，进而求出∠B＝60°，再分两种情况，利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．

解：（1）∵y是x的二次函数的一部分点，且Q（2，12）是图象上的最低点，

∴y＝a（x﹣2）2+12，

∵图象与y轴交于（0，16），

∴a×22+12＝16，

∴a＝1，

∴y关于x的函数解析式为y＝（x﹣2）2+12＝x2﹣4x+16（0≤x≤12），

（2）如图1，过点A作AH⊥BC于H，

由图2知，BC＝12，BH＝2，AB2＝16，

∴AB＝4，

在Rt△ABH中，cosB＝，

∴∠B＝60°，

当△ABP为直角三角形时，

①当∠APB＝90°时，点P与点H重合，此时，BP＝BH＝2；

②当∠BAP＝90°时，∠APB＝90°﹣∠B＝30°，

∴BP＝2AB＝8，

即：当△ABP为直角三角形时，BP的值是2或8．