Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于圆O ，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F.

(1)若∠E=500, ∠F=400，求∠A的度数.

(2)探究∠E、∠F、∠A的关系并证明.

Answer 1

【答案】（1）45° ；（2）∠E+∠F+2∠A=180 °

【解析】

（1）根据圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的一个外角等于与它的内对角，和三角形外角的性质列式求解即可；

（2）根据圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的一个外角等于与它的内对角，和三角形外角的性质列式化简求解即可；

（1）∵∠CDE是△ADF的外角；

∴∠CDE=∠A+∠F，

∵∠F=40°，

∴∠CDE=∠A+40°，

∵∠CDE=∠ABE,

∴∠ABE=∠A+40°，

同理可证：∠ADF=∠A+∠E，

∵∠E=50°,

∴∠ADF=∠A+50°,

∵∠ABE+∠ADF=180°，

∴∠A+40°+∠A+50°=180°.

∴2∠A=180 °-90°=90°。

∴∠A=45°.

（2）∠E+∠F+2∠A=180 °理由如下：

∵∠CDE是△ADF的外角；

∴∠CDE=∠A+∠F，

∵∠CDE=∠ABE,

∴∠ABE=∠A+∠F，

同理可证：∠ADF=∠A+∠E，

∵∠ABE+∠ADF=180°，

∴∠A+∠F+∠A+∠E=180°.

∴∠E+∠F+2∠A=180 °