Question

【题目】已知抛物线C1：y＝ax2+bx+b2向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C2：y＝x2.

（1）直接写出抛物线C1的解析式；

（2）如图1，已知抛物线C1交x轴于点A、点B，点A在点B的左侧，点P（2，t）在抛物线C1上，CB⊥PB交抛物线于点C，求C点的坐标；

（3）已知点E、点M在抛物线C2上，EM∥x轴，点E在点M左侧，过点M的直线MD与抛物线C2只有一个公共点（MD与y轴不平行），直线DE与抛物线交于另一点N．若线段NE＝DE，设点M、N的横坐标分别为m、n，求m和n的数量关系（用含m的式子表示n）

Answer 1

【答案】（1）y＝（x﹣1）2﹣4；（2）C（﹣，）；（3）n＝（1）m．

【解析】

（1）抛物线C2：y＝x2向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到C1，即可求解；

（2）过点B作y轴的平行线MN，过点C作CM⊥MN于点M，过点P作PN⊥MN于点N，证明∠BCM＝∠PBN，则tan∠MCB＝tan∠PBN＝，设BM＝m，则CM＝3m，可得点C（3﹣3m，m），将点C的坐标代入C1的解析式，即可求解；

（3）由题意可得点M、N的坐标为：（m，m2）、（n，n2），点E（﹣m，m2），设直线MD的表达式为：y＝kx+b，代入点M的坐标并根据直线MD与抛物线C2只有一个公共点可求出直线MD的表达式为：y＝2mx﹣m2，然后由中点坐标公式结合点N、E的坐标，表示出点D的坐标，再将点D的坐标代入直线MD的表达式整理求解即可．

（1）抛物线C2：y＝x2向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到C1：

故抛物线C1的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4；

（2）过点B作y轴的平行线MN，过点C作CM⊥MN于点M，过点P作PN⊥MN于点N，

∵∠PBN+∠BPN＝90°，∠PBN+∠CBM＝90°，

∴∠BCM＝∠PBN，

当y=0时，即（x﹣1）2﹣4＝0，

解得：x=3或x=－1，

∴B（3，0），

当x=2时，y＝（x﹣1）2﹣4＝﹣3，

∴点P的坐标为：（2，﹣3），则NB＝3，PN＝1，

∴tan∠MCB＝tan∠PBN＝，

设BM＝m，则CM＝3m，则点C（3﹣3m，m），

将点C的坐标代入C1的解析式可得：m＝（3﹣3m﹣1）2﹣4

解得：m＝或m=0（舍去），此时3﹣3m＝，

故点C（﹣，）；

（3）∵点M、N的横坐标分别为m、n，

∴点M、N的坐标为：（m，m2）、（n，n2），则点E（﹣m，m2），

设直线MD的表达式为y＝kx+b，

将点M的坐标代入得m2=km+b，则b=m2－km，

∴直线MD的表达式为：y＝kx+m2﹣km，

联立y＝kx+m2﹣km与y＝x2可得：x2＝kx+m2﹣km，整理得：x2－kx－m2＋km＝0，

∵直线MD与抛物线C2只有一个公共点，

∴△＝（－k）2﹣4（﹣m2+km）＝k2+4m2－4km＝0，

解得：k＝2m，

故直线MD的表达式为：y＝2mx﹣m2，

∵N（n，n2），E（﹣m，m2），

根据中点公式得：点D横坐标为：－2m－n，点D纵坐标为：2m2﹣n2，

∴D（﹣2m﹣n，2m2﹣n2），

将点D的坐标代入y＝2mx﹣m2可得2m2﹣n2＝2m(﹣2m﹣n) ﹣m2，

整理得：n2﹣2mn﹣7m2＝0，

方程两边同时除以m2得：，

解得：，

∴n＝．