Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC于E．

（1）求证：ED是⊙O的切线；

（2）若ED，AB的延长线相交于F，且AE=5，EF=12，求BF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BF=.

【解析】试题分析：（1）连接OD，推出∠ODA=∠OAD=∠EAD，推出OD∥AE，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；

（2）在Rt△AEF中，根据勾股定理求得AF=13，设⊙O的半径为r，则有OD=r，OF=13﹣r，BF=AF﹣AB=13﹣2r，通过证明△OFD∽△AFE，根据相似三角形对应边成比例进而求得r的值即可得..

试题解析：（1）如图，∵DE⊥AC，

∴∠AEF=90°

连接OD，

∴OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠DAC=∠DAB，

∴∠DAE=∠ODA，

∴OD∥AE，

∴∠ODF=∠AEF=90°，

∴OD⊥EF，

∵点D在⊙O上，

∴ED是⊙O的切线；

（2）在Rt△AEF中，根据勾股定理得，AF==13，

设⊙O的半径为r，

∴OD=r，OF=13﹣r，BF=AF﹣AB=13﹣2r，

由（1）知，OD∥AE，

∴△OFD∽△AFE，

∴，

∴，

∴r=，

∴BF=13﹣r=.