【题目】如图,已知Rt△ABC中,C=90°,O在AC上,以OC为半径作⊙O,切AB于D点,且BC=BD.
(1)求证:AB为⊙O的切线;
(2)若BC=6,sinA=,求⊙O的半径;
(3)在(2)的条件下,P点在⊙O上为一动点,求BP的最大值与最小值.
【答案】(1)连OD,证明略;(2)半径为3;(3)最大值3+3 ,3-3.
【解析】
(1)连接OD,OB,证明△ODB≌△OCB即可.
(2)由sinA=且BC=6可知,AB=10且cosA=,然后求出OD的长度即可.
(3)由三角形的三边关系,可知当连接OB交⊙O于点E、F,当点P分别于点E、F重合时,BP分别取最小值和最大值.
(1)如图:连接OD、OB.
在△ODB和△OCB中:
OD=OC,OB=OB,BC=BD;
∴△ODB≌△OCB(SSS).
∴∠ODB=∠C=90°.
∴AB为⊙O的切线.
(2)如图:
∵sinA=,∴,
∵BC=6,∴AB=10,
∵BD=BC=6,
∴AD=AB-BD=4,
∵sinA=,∴cosA=,
∴OA=5,∴OD=3,
即⊙O的半径为:3.
(3)如图:连接OB,交⊙O为点E、F,
由三角形的三边关系可知:
当P点与E点重合时,PB取最小值.
由(2)可知:OD=3,DB=6,
∴OB=.
∴PB=OB-OE=.
当P点与F点重合时,PB去最大值,
PB=OP+OB=3+.
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【题目】一辆货车从超市出发,向东走了1千米,到达小明家,继续向东走了3千米到达小兵家,然后西走了10千米,到达小华家,最后又向东走了6千米结束行程.
(1)如果以超市为原点,以向东为正方向,用1个单位长度表示1千米,请你在下面的数轴上表示出小明家、小兵家和小华家的具体位置.
(2)请你通过计算说明货车最后回到什么地方?
(3)如果货车行驶1千米的用油量为0.25升,请你计算货车从出发到结束行程共耗油多少升?
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【题目】在中,,,点是的中点,点是射线上一点,于点,且,连接,作于点,交直线于点.
(1)如图(1),当点在线段上时,判断和的数量关系,并加以证明;
(2)如图(2),当点在线段的延长线上时,问题(1)中的结论是否依然成立?如果成立,请求出当和面积相等时,点与点之间的距离;如果不成立,请说明理由.
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【题目】如图,抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B,把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1,将C1向右平移得C2,C2与x轴交于点B,D.若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点,则m的取值范围是( )
A. ﹣2<m< B. ﹣3<m<﹣ C. ﹣3<m<﹣2 D. ﹣3<m<﹣
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【题目】为了解某区八年级学生身体素质情况,该区从全区八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育考试科目测试(把测试结果分为四个等级:A级:优秀;B级:良好;C级:及格;D级:不及格),并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图.
请根据统计图中的信息解答下列问题:
(1)本次抽样测试的学生人数是 ;
(2)图1中∠α的度 数是 ;并把图2条形统计图补充完整;
(3)该区八年级有学生3500名,如果全部参加这次体育科目测试,请估计不及格的人数为 ;
(4)测试老师想从4位同学(分别记为E、F、G、H,其中E为小明)中随机选择两位同学了解平时训练情况,请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率.
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【题目】已知:如图,P1、P2是反比例函数y=(k>0)在第一象限图象上的两点,点A1的坐标为(4,0).若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形,其中点P1、P2为直角顶点.
(1)直接写出反比例函数的解析式.
(2)①求P2的坐标.
②根据图象直接写出在第一象限内,当x满足什么条件时,经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y=的函数值.
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【题目】如图,已知△ABC是边长为3的等边三角形,点D是边BC上的一点,且BD=1,以AD为边作等边△ADE,过点E作EF∥BC,交AC于点F,连接BF,则下列结论中①△ABD≌△BCF;②四边形BDEF是平行四边形;③S四边形BDEF=;④S△AEF=.其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】在“元旦”期间,平价商场对该商场商品进行如下的优惠促销活动:
打折前一次性购物总金额 | 优惠措施 |
小于等于 400 元 | 不优惠 |
超过 400 元,但不超过 600元 | 按售价打九折 |
超过 600 元 | 其中 600 元部分八折优惠,超过 600 元的部分打六折优惠 |
按上述优惠条件,若小华一次性购买售价为 80 元/件的商品 n 件时,实际付款 504 元, 则 n=_____.
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