Question

14．如图，直线l经过正方形ABCD内一点P，并交边BC、DA于E、F两点，将直线l绕点P按逆时针方向旋转45°得到直线l′，并交边AB、CD于G、H两点．若AB=4，GH=2$\sqrt{5}$，则EF的值为$\frac{4\sqrt{10}}{3}$．

Answer 1

分析 作AK∥EF交BC于K、作AM∥GH交CD于M，可得∠KAM=45°，作∠KAN=45°交CB延长线于点N，求出∠DAM=∠BAN，然后利用“ASA”证明△DAM≌△BAN，根据全等三角形对应边相等可得AM=AN、DM=BN，利用勾股定理求出DM，过点K作KP⊥AN于P，可得△KAP是等腰直角三角形，设AK=EF=x，表示出KP，然后利用∠N的正切值列出方程求解即可．

解答 解：如图，作AK∥EF交BC于K，作AM∥GH交CD于M，

则AM=GH=2$\sqrt{5}$，AK=EF，
∵∠GPF=45°，
∴∠KAM=45°，
∴∠BAK+∠DAM=90°-45°=45°，
作∠KAN=45°交CB延长线于点N，则∠BAK+∠BAN=45°，
∴∠DAM=∠BAN，
在△DAM和△BAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠BAN}\\{AD=AB}\\{∠D=∠ABN=90°}\end{array}\right.$，
∴△DAM≌△BAN（ASA），
∴AM=AN，DM=BN，
在RT△ADM中，DM=$\sqrt{A{M}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=2，
过点K作KP⊥AN于P，
∵∠KAP=45°，
∴△KAP是等腰直角三角形，
设AK=EF=x，则AP=KP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵tan∠N=$\frac{AB}{BN}=\frac{KP}{NP}$，
∴$\frac{4}{2}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x}{2\sqrt{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}x}$，
解得：x=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$，
所以EF=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{10}}{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键．