Question

9．如图1，△ABC为等边三角形，△ADE是△ABC的位似图形，位似比为k：1，点D在AB上，点E在AC上，点E在AC上．
（1）证明：DE∥BC．
（2）将△ADE绕点A旋转α至△AMN的位置，如图2，当AM⊥BC时，请你判断AC与MN的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据两个图形必须是相似形得到∠ADE=∠B，根据平行线的性质证明即可；
（2）延长AM交BC于D，根据等腰三角形三线合一得到∠DAC=30°，求出∠AFM=90°，得到答案．

解答 （1）证明：∵△ADE是△ABC的位似图形，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC；
（2）AC⊥MN．
证明：如图2，延长AM交BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠DAC=30°，又∠AMN=60°，
∴∠AFM=90°，即AC⊥MN．

点评 本题考查的是位似变换的性质、旋转变换以及等边三角形的性质，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．