Question

18．如图，直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（-3，0），点A的坐标为（-2.5，0）．
（1）求k的值；
（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究：当点P运动到什么位置（求点P的坐标）时，△OPA的面积为5，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线与x轴的交点的坐标，代入即可求出k的值；（2）过点P作x轴的垂线段，能够发现P点到x轴的距离为P点的纵坐标，代入直线方程用x表示出来P点的纵坐标，再套用三角形面积公式即可得出结论，再由点P在第二象限，即可确定x的取值范围；（3）分两种情况，一种P点在x轴上方，一种在x轴下方，分类讨论即可得出结论．

解答 解：（1）∵点E（-3，0）在直线y=kx+6的图象上，
∴有0=-3k+6，解得：k=2．
故k的值为2．
（2）过点P作PB⊥x轴，垂足为点B，如图1．

∵点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，
∴P点横坐标介于E、F的横坐标之间，
∴-3＜x＜0．
∵点P在直线y=2x+6上，
∴y=2x+6．
∵PB⊥x轴，且P点在第二象限，且点A的坐标为（-2.5，0），
∴PB=y=2x+6，OA=2.5．
∴△OPA的面积S=$\frac{1}{2}$OA•PB=2.5x+7.5．
故△OPA的面积S与x的函数关系式为S=2.5x+7.5（-3＜x＜0）．
（3）∵令（2）中的关系式中x=0，解得S=7.5＞5，
∴若点P在x轴上方时，必在第二象限，点P在x轴下方时，必在第三象限．
①当点P在x轴上方时，有△OPA的面积S=2.5x+7.5，
令S=5，即2.5x+7.5，解得：x=-1．
此时点P的坐标为（-1，4）；
②当点P在x轴下方时，如图2，

此时PB=-y=-2x-6，
△OPA的面积S=$\frac{1}{2}$OA•PB=$\frac{1}{2}$×2.5×（-2x-6）=-2.5x-7.5=5，
解得：x=-5．
此时点P的坐标为（-5，-4）．
综上可知：点P运动到（-1，4）或（-5，-4）时，△OPA的面积为5．

点评 本题考查了一次函数综合应用中的图象与坐标轴的交点、两点间的距离、三角形的面积公式以及解一元一次方程，解题的关键是：会利用点在直线上求直线的解析式；能用三角形的面积公式来求取面积．本题属于较简单的题型，难点在于（3）中P点分x轴上下两侧，即点P存在两个，部分同学会忘记直线下方还存在符合条件的点P．