Question

20．已知反比例函数$y=\frac{8}{x}$与一次函数y=kx-2的图象都经过点A（a，-4），且一次函数y=kx-2的图象与x轴交于点B．
（1）求a、k的值；
（2）直线AB与反比例函数的另一个交点C，与y轴交点为点D，那么请确定∠AOD与∠COB的大小关系；
（3）若点E为x轴上一动点，是否存在以CB为腰的等腰△CBE？如果存在请写出E点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出a的值，代入一次函数求出k；
（2）根据坐标与图形的关系，证明△OAF≌△OCE，得到答案；
（3）分BC=BE和BC=CE两种情况，根据等腰三角形的性质解答即可．

解答 解：（1）把A（a，-4）代入y=$\frac{8}{x}$得：-4=$\frac{8}{a}$，
解得a=-2，
即A（-2，-4），
代入y=kx-2得：-4=-2k-2，
∴k=1．
答：a=-2，k=1；
（2）∠AOD=∠COB．
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{{y}_{1}=-4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=2}\end{array}\right.$，
∴点C的坐标为（4，2），
x=0时，y=-2，
∴点D的坐标为（0，-2），
如图1，作CE⊥x轴于E，AF⊥y轴于F，
∵点A的坐标为（4，2），
∴OF=4，AF=2，
∵点C的坐标为（-2，-4），
∴OE=4，CE=2，
在△OAF和△OCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OF=OE}\\{∠OFA=∠OEC}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴△OAF≌△OCE，
∴∠AOD=∠COB；
（3）∵点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（4，2），
∴BC=2$\sqrt{2}$，
当点E在点B的左侧，BC=BE时，点E的坐标为（2-2$\sqrt{2}$，0）；
当点E在点B的右侧，BC=BE时，点E的坐标为（2+2$\sqrt{2}$，0）；
当点E在点B的右侧，BC=CE时，点E的坐标为（6，0）；
∴当点E的坐标为（2-2$\sqrt{2}$，0）、（2+2$\sqrt{2}$，0）、（6，0）时，△CBE是以CB为腰的等腰的等腰三角形．

点评 本题考查的是反比例函数、反比例函数与一次函数的交点的求法以及等腰三角形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、利用二元二次方程组求出反比例函数与一次函数的交点坐标、掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．