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【题目】小明在课外学习时遇到这样一个问题:
定义:如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1 , b1 , c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2 , b2 , c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2 , c1+c2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”.
求函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”.
小明是这样思考的:由函数y=﹣x2+3x﹣2可知,a1=﹣1,b1=3,c1=﹣2,根据a1+a2=0,b1=b2 , c1+c2=0,求出a2 , b2 , c2 , 就能确定这个函数的“旋转函数”.
请参考小明的方法解决下面问题:
(1)写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”;
(2)若函数y=﹣x2+ mx﹣2与y=x2﹣2nx+n互为“旋转函数”,求(m+n)2015的值;
(3)已知函数y=﹣ (x+1)(x﹣4)的图象与x轴交于点A、B两点,与y轴交于点C,点A、B、C关于原点的对称点分别是A1 , B1 , C1 , 试证明经过点A1 , B1 , C1的二次函数与函数y=﹣ (x+1)(x﹣4)互为“旋转函数.”

【答案】
(1)

解:∵a1=﹣1,b1=3,c1=﹣2,

∴﹣1+a2=0,b2=3,﹣2+c2=0,

∴a2=1,b2=3,c2=2,

∴函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”为y=x2+3x+2


(2)

解:根据题意得 m=﹣2n,﹣2+n=0,解得m=﹣3,n=2,

∴(m+n)2015=(﹣3+2)2015=﹣1


(3)

证明:当x=0时,y=﹣ (x+1)(x﹣4)=2,则C(0,2),

当y=0时,﹣ (x+1)(x﹣4)=0,解得x1=﹣1,x2=4,则A(﹣1,0),B(4,0),

∵点A、B、C关于原点的对称点分别是A1,B1,C1

∴A1(1,0),B1(﹣4,0),C1(0,﹣2),

设经过点A1,B1,C1的二次函数解析式为y=a2(x﹣1)(x+4),把C1(0,﹣2)代入得a2(﹣1)4=﹣2,解得a2=

∴经过点A1,B1,C1的二次函数解析式为y= (x﹣1)(x+4)= x2+ x﹣2,

而y=﹣ (x+1)(x﹣4)=﹣ x2+ x+2,

∴a1+a2=﹣ + =0,b1=b2= ,c1+c2=2﹣2=0,

∴经过点A1,B1,C1的二次函数与函数y=﹣ (x+1)(x﹣4)互为“旋转函数


【解析】(1)根据“旋转函数”的定义求出a2 , b2 , c2 , 从而得到原函数的“旋转函数”;(2)根据“旋转函数”的定义得到 m=﹣2n,﹣2+n=0,再解方程组求出m和n的值,然后根据乘方的意义计算;(3)先根据抛物线与坐标轴的交点问题确定A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2),再利用关于原点对称的点的坐标特征得到A1(1,0),B1(﹣4,0),C1(0,﹣2),则可利用交点式求出经过点A1 , B1 , C1的二次函数解析式为y= (x﹣1)(x+4)= x2+ x﹣2,再把y=﹣ (x+1)x﹣4)化为一般式,然后根据“旋转函数”的定义进行判断.
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和矩形的性质的相关知识点,需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2;矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等才能正确解答此题.

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