Question

【题目】请阅读材料并填空：

如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．

李明同学的思路是：

将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′．

（1）根据李明同学的思路，进一步思考后可求得∠BPC= °，等边△ABC的边长为 ．

（2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：

如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA= ，BP= ，PC=1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．

Answer 1

【答案】(1)150, ;(2) ∠BPC=135°, 正方形边长为．

【解析】（1）∠BPC=150°， ………………2分

等边△ABC的边长为 . ………………4分

( 2) 如图，

将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．

∴AP′=PC=1，BP=BP′=；

连接PP′，

在Rt△BP′P中，

∵BP=BP′=，∠PBP′=90°，

∴PP′=2，∠BP′P=45°； ………………6分

在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=，

∵，即AP′2+PP′2=AP2；

∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，

∴∠AP′B=135°，

∴∠BPC=∠AP′B=135°． ………………8分

过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E；则△BEP′是等腰直角三角形，

∴∠EP′B=45°，

∴EP′=BE=1，

∴AE=2；

∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=； ………………10分

∴∠BPC=135°，正方形边长为．