Question

【题目】如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD=4，AD=6，CD=8．

（1）求证：∠ACB=∠ABC；

（2）如图2，E为AC的中点，连结DE．动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时另一个点也停止运动．设点M运动的时间为t（秒），

①若MN与BC平行，求t的值；

②问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①t=5；②t值为9或10或

【解析】

（1）先求出AB的长，再利用勾股定理求出AC的长，由AB=AC，等边对等角即可得出∠ACB=∠ABC；（2）① 由上题知AB=AC，因此当AM=AN时， MN∥BC ，于是结合路程的关系列方程，求出t即可；②因为BD<DE，当M在BD上时，△BDE不可能构成等腰三角形，当M在DA上时，分三种情况分别求解，若DE=DM，有t-4=5，求出t即可；若如果ED=EM，点M刚好运动到点A， 显然t=10； 如果MD=ME，过E作EH⊥AD，把EH和HM分别用含t的代数式表示，在△EHM中，再利用勾股定理列式求出t即可；

解：

（1）证明：∵AB=AD+BD=6+4=10，

AC=，

∴AB=AC，

∴ ∠ACB=∠ABC.

（2）解：如图，

①由题意得BM=t，AN=t，则AM=10-t，

当MN∥BC时，AM=AN，

即10﹣t=t，

∴t=5；

②当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．

∵CD⊥AB，

∴∠CDA=90°，

∵E为AC中点，

∴DE=AC=5，

如果DE=DM，则t﹣4=5，

∴t=9；

如果ED=EM，则点M运动到点A，

∴t=10；

如果MD=ME=t﹣4，过E作EH⊥AD，

∵EH⊥AD，CD⊥AD，

∴EH∥CD，

∵E为AC中点，

∴AE=CD=4，

在中，

DH=，

∴HM=DM-DH=t-4-3=t-7，

在△EHM中，

则（t﹣4）2﹣（t﹣7）2=42，

∴t= ；

综上所述，符合要求的t值为9或10或 ；