Question

8．已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：
（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积=△ACD的面积（填“＞”“＜”或“=”）
（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD=DB得：S_△ADO=S_△BDO，同理：S_△CEO=S_△AEO，设S_△ADO=x，S_△CEO=y，则S_△BDO=x，S_△AEO=y由题意得：S_△ABE=$\frac{1}{2}$S_△ABC=30，S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=30，可列方程组为：$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=30}\\{x+2y=30'}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=10}\end{array}\right.$，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为20．
（3）如图3，AD：DB=1：3，CE：AE=1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等底等高的两个三角形面积相等知，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分，所以S_△ABD=S_△ACD；
（2）根据三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，即可得到结果；
（3）连结AO，由AD：DB=1：3，得到S_△ADO=$\frac{1}{3}$S_△BDO，同理可得S_△CEO=$\frac{1}{2}$S_△AEO，设S_△ADO=x，S_△CEO=y，则S_△BDO=3x，S_△AEO=2y，由题意得列方程组即可得到结果．

解答 解：（1）如图1，过A作AH⊥BC于H，
∵AD是△ABC的BC边上的中线，
∴BD=CD，
∴${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}BD•AH$，${S}_{△ACD}=\frac{1}{2}CD•AH$，
∴S_△ABD=S_△ACD，
故答案为：=；

（2）解方程组得$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=10}\end{array}\right.$，
∴S_△AOD=S_△BOD=10，
∴S_{四边形ADOB}=S_△AOD+S_△AOE=10+10=20，
故答案为：得$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=10}\end{array}\right.$，20；

（3）如图3，连结AO，
∵AD：DB=1：3，
∴S_△ADO=$\frac{1}{3}$S_△BDO，
∵CE：AE=1：2，
∴S_△CEO=$\frac{1}{2}$S_△AEO，
设S_△ADO=x，S_△CEO=y，则S_△BDO=3x，S_△AEO=2y，
由题意得：S_△ABE=$\frac{2}{3}$S_△ABC=40，S_△ADC=$\frac{1}{4}$S_△ABC=15，
可列方程组为：$\left\{\begin{array}{l}{x+3y=15}\\{4x+2y=40}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=9}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴S_{四边形ADOE}=S_△ADO+S_△AEO=x+2 y=13．

点评 本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，熟练掌握这个结论是解题的关键．