Question

如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：

①△AED≌△DFB；②S_{四边形BCDG}=CG²；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．

其中正确的结论个数为（　　）

　  A．4            B． 3               C． 2               D． 1

Answer 1

B   解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD，

∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形，

∴∠A=∠BDF=60°，

又∵AE=DF，AD=BD，

∴△AED≌△DFB，故本选项正确；

②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，

即∠BGD+∠BCD=180°，

∴点B、C、D、G四点共圆，

∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，

∴∠BGC=∠DGC=60°，

过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图1），

则△CBM≌△CDN（AAS），

∴S_{四边形BCDG}=S_{四边形CMGN，}

S_{四边形CMGN}=2S_△CMG，

∵∠CGM=60°，

∴GM=CG，CM=CG，

∴S_{四边形CMGN}=2S_△CMG=2××CG×CG=CG²，故本选项错误；

③过点F作FP∥AE于P点（如图2），

∵AF=2FD，

∴FP：AE=DF：DA=1：3，

∵AE=DF，AB=AD，

∴BE=2AE，

∴FP：BE=FP：=1：6，

∵FP∥AE，

∴PF∥BE，

∴FG：BG=FP：BE=1：6，

即BG=6GF，故本选项正确；

④当点E，F分别是AB，AD中点时（如图3），

由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，

∵点E，F分别是AB，AD中点，

∴∠BDE=∠DBG=30°，

∴DG=BG，

在△GDC与△BGC中，

，

∴△GDC≌△BGC，

∴∠DCG=∠BCG，

∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；

⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，为定值，

故本选项正确；

综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，

故选B．