Question

在Rt△ABC中，∠BAC=30°，斜边AB=2

3

，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且∠CPQ=90°，则线段CQ长的最小值=

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,圆周角定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：以CQ为直径作⊙O，当⊙O与AB边相切动点P时，CQ最短，根据切线的性质求得OP⊥AB，进而根据已知求得△POQ为等边三角形，得出∠APQ=30°，设PQ=OQ=AP=OC=r，3r=AC=cos30°•AB=

3

2

×2

3

=3，从而求得CQ的最小值为2．

解答：解：以CQ为直径作⊙O，当⊙O与AB边相切动点P时，CQ最短，
∴OP⊥AB，
∵∠B=90°，∠A=30°，
∴∠POA=60°，
∵OP=OQ，
∴△POQ为等边三角形，
∴∠POQ=60°，
∴∠APQ=30°，
∴设PQ=OQ=AP=OC=r，3r=AC=cos30°•AB=

3

2

×2

3

=3，
∴CQ=2，
∴CQ的最小值为2．
故答案为2．

点评：本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形函数等，熟练掌握性质定理是解题的关键．