Question

如图，⊙O的半径为3，⊙O切AC于F，交BC于D，DE⊥AC于E，CE=1，AB=AC，则AO=

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：连结OD，如图，由AB=AC得∠B=∠C，由OB=OD得∠B=∠ODB，则∠ODB=∠C，根据平行线的判定可得OD∥AC，由于DE⊥AC，则OD⊥DE，再根据切线的性质得OF⊥AE，可证得四边形ODEF为正方形，得到EF=3，设OA=x，则AB=x+3=AC，所以AF=AC-EF-CE=x-1，然后在Rt△AOF中利用勾股定理得到3²+（x-1）²=x²，再解方程求出x即可．

解答：解：连结OD，如图，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵⊙O切AC于F，
∴OF⊥AE，
∴四边形ODEF为矩形，
而OF=OD=3，
∴四边形ODEF为正方形，
∴EF=3，
设OA=x，则AB=x+3，
∴AC=x+3，
∴AF=AC-EF-CE=x+3-3-1=x-1，
在Rt△AOF中，∵OF²+AF²=OA²，
∴3²+（x-1）²=x²，解得x=5，
∴OA的长为5．
故答案为5．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等腰三角形的性质、正方形的判定与性质和勾股定理．