Question

抛物线y=

1

3

x²+bx-1与x轴交于A，B，与y轴交于C，且OA=OC
（1）求A，B的坐标；
（2）D到A，B，C距离相等，在抛物线上求点P，使P，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）根据题意求得OA=OC=1，从而求得A的坐标（-1，0），C（0，-1），把A的坐标代入y=

1

3

x²+bx-1求得b，求得解析式，令y=0，解方程即可求得B的坐标．
（2）根据题意得出D的坐标，根据B、C、D的坐标即可求得使P，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形的P的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=

1

3

x²+bx-1与x轴交于A，B，与y轴交于C，且OA=OC，
∴OA=OC=1，
∴A的坐标（-1，0），C（0，-1），
代入y=

1

3

x²+bx-1得0=

1

3

×1-b-1，解得，b=-

2

3

，
∴抛物线为y=

1

3

x²-

2

3

x-1，
令y=0，则

1

3

x²-

2

3

x-1=0，解得，x₁=-1，x₂=3，
∴B的坐标为（3，0）．
（2）如图，∵D到A，B，C距离相等，
∴D是直线y=x和x=1的交点，
∴D（1，1），
∵使P，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，B（3，0），C（0，-1），
∴P₁（4，2），P₂（（2，-2），P₃（-2，0）．

∴当P的坐标为（4，2）或（2，-2）或（-2，0）时，使P，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形．

点评：本题考查了抛物线和x轴的交点以及待定系数法求解析式，平行四边形的判定，熟练掌握待定系数法和平行四边形的判定是解题的关键．