Question

如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E、F分别在边AB、BC上，EF与BD交于G，且∠DEF=60°．
（1）求证：△ADE∽△BEG；
（2）已知AD=3，AE=2，求sin∠BEF的值（结果保留根号）．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,菱形的性质

专题：

分析：（1）由菱形ABCD，∠A=60°，得出∠ABC=120°，再由BD平分∠ABC，得出∠EBG=60°=∠A，由∠DEB=∠A+∠ADE，得出∠ADE=∠BEG，证出△ADE∽△BEG；
（2）作EH⊥AD于H，由△ADE∽△BEG，得出∠BEF=∠ADE，求出sin∠ADE即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠ABC=120°，BD平分∠ABC，
∴∠EBG=60°，
∵∠DEB=∠A+∠ADE，∠DEF=60°，
∴∠ADE=∠BEG，
∴△ADE∽△BEG；
（2）解：作EH⊥AD于H，如图所示：
则∠AEH=90°-60°=30°，
∴AH=

1

2

AE=1，
∴EH=

3

，
∵AD=AB=2+1=3，
∴DH=2，
在Rt△DEH中，根据勾股定理得，DE=

22+( 3 )2

=

7

，
由（1）得，∠BEF=∠ADE，
∴sin∠BEF=sin∠ADE=

3

7

=

21

7

．

点评：本题考查了菱形的性质和相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的运用，证明三角形相似是解决问题的关键．