Question

如图，在△ABC中，AB=BC，AD⊥BC于点D，点E为AC中点，连接BE交AD于点F，且BF=AC，过点D作DG∥AB交AC于点G．
求证：（1）∠BAD=2∠DAC；
     （2）GC=

2

EG．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：（1）先证明△BDF≌△ADC，得BD=AD，FD=CD，得∠BAD=∠ABD，证出∠BAD=2∠CBE=2∠DAC；
（2）先证明△DGF≌△DGC，得FG=GC，∠DGF=∠DGC，再证明△FEG是等腰直角三角形，证出FG=

2

EG，因此GC=

2

EG．

解答：证明：（1）∵BA=BC，AE=CE，
∴BE⊥AC，∠CBE=∠ABE，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°，
∴∠DAC=∠CBE，
在△BDF和△ADC中，

∠CBE=∠DAC   ∠BDF=∠ADC   BF=AC

∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴BD=AD，FD=CD，
∴∠BAD=∠ABD，
∴∠BAD=2∠CBE=2∠DAC；
（2）连接FG，如图所示：
由（1）FD=CD，BD=AD，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∵DG∥AB，
∴∠BAD=∠FDG=45°，∠CDG=∠ABD=45°，DGC=∠BAC，
∴∠CDG=∠FDG=45°，
在△DGF和△DGC中，

DF=CD   ∠FDG=∠CDG   DG=DG

∴△DGF≌△DGC，
∴FG=GC，∠DGF=∠DGC，
∵BA=BC，∴∠C=∠BAC，
∴∠C=∠DGC=∠DGF=

1

2

(180°-45°)=67.5°，
∴∠EGF=45°，
∴∠EFG=45°，
∴△FEG是等腰直角三角形，
∴FG=

2

EG，
∴GC=

2

EG．

点评：本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．