Question

如图所示，两圆交于A、B两点，过B的直线交两圆于C、D，两圆外有一点P，连接PC，PD，分别交两圆于E，F．求证：P、E、A、F四点共圆．

Answer 1

考点：四点共圆

专题：证明题

分析：连接BA并延长，由圆内接四边形的性质可知∠PEA=∠ABC，∠PFA=∠ABD，∠D=∠GAF，∠C=∠GAE，然后由三角形的内角和等于180°，可得∠P+∠C+∠D=∠P+∠PAE+∠PAF=180°，∠PEA+∠PFA=∠ABC+∠ABD=180°，继而可证明P、E、A、F四点共圆．

解答：解：连接BA并延长，
∵四边形ABDF内接与⊙O′，
∴∠D=∠GAF，
同理，∠C=∠GAE，
∴∠EAF=∠GAF+∠GAE=∠C+∠D，
∵∠P+∠C+∠D=180°，
∴∠P+∠EAF=180°，
∠PEA+∠PFA=∠ABC+∠ABD=180°，
∴P、E、A、F四点共圆．

点评：本题考查了四点共圆的知识，根据题意作出辅助线，构造出圆内接四边形，证明∠EAF=∠GAF+∠GAE=∠C+∠D是解答此题的关键．