Question

如图，⊙0₁和⊙O₂外切，AB是外公切线，延长O₁O₂交AB的延长线于C点，若∠C=30°，AB=2，求两圆的半径．

Answer 1

考点：相切两圆的性质

专题：

分析：如图，作辅助线；证明四边形ABO₂D为矩形，得到AD=O₂B=μ，O₁D=λ-μ；O₂D∥AC，O₂D=AB=2；列出关于λ、μ的方程组，求出λ、μ即可解决问题．

解答：解：如图，连接O₁A、O₂B，过点O₂作O₂D⊥O₁A；
设⊙O₁、⊙O₂的半径分别为λ、μ；
∵AB是外公切线，
∴∠DAB=∠O₂BA=90°，
∴四边形ABO₂D为矩形，
∴AD=O₂B=μ，O₁D=λ-μ；O₂D∥AC，O₂D=AB=2；
∴∠DO₂O₁=∠C=30°；而⊙0₁和⊙O₂外切，
∴O₁O₂=λ+μ；
由直角三角形的性质得：

λ-μ= 1 2 (λ+μ) (λ+μ)2=(λ-μ)2+22

，
解得：λ=

3

，μ=

3

3

，
即两圆的半径分别为

3

，

3

3

．

点评：该题主要考查了相切两圆的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断、解答．