Question

如图，AB和CD是互相垂直的两条直径，E为DC延长线上一点，EF切⊙O于点F，交AB的延长线于H，DF交AB于T，若tan∠D=

1

3

，求sin∠E的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：连结OF，如图，先在Rt△DOT中利用正切的定义得到tanD=

OT

OD

=

1

3

，则可设OT=x，OD=3x，再根据切线的性质得OF⊥EF，则∠OFH=90°，再证明∠HFD=∠HTF得到HF=HT，接着在Rt△OHF中利用勾股定理得到（3x）²+HF²=（x+HF）²，解得HF=4x，则OH=5x，于是根据正弦的定义得到sin∠HOF=

HF

OH

=

4

5

，然后根据等角的余角相等得到∠E=∠HOF，从而得到sin∠E=

4

5

．

解答：解：连结OF，如图，
∵AB⊥CD，
∴∠DOB=90°，
在Rt△DOT中，∵tanD=

OT

OD

=

1

3

，
∴设OT=x，OD=3x，
∵EF切⊙O于点F，
∴OF⊥EF，
∴∠OFH=90°，
即∠OFD+∠DFH=90°，
∵∠D+∠DTO=90°，
而∠DTO=∠HTF，
∴∠D+∠HTF=90°，
∵OD=OF，
∴∠D=∠OFD，
∴∠HFD=∠HTF，
∴HF=HT，
在Rt△OHF中，OF=3x，OH=x+HT=x+HF，
∵OF²+HF²=OH²，
∴（3x）²+HF²=（x+HF）²，解得HF=4x，
∴OH=5x，
∴sin∠HOF=

HF

OH

=

4x

5x

=

4

5

，
∵∠E+∠EOF=90°，
∠HOF+∠EOF=90°，
∴∠E=∠HOF，
∴sin∠E=

4

5

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等腰三角形的判定和勾股定理．