Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°（A，D，E按逆时针方向）．若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．
①求证：△ABD∽△DCE；
②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

Answer 1

分析 ①由∠ADB+∠BAD=135°，∠ADB+∠CDE=135°，得出∠BAD=∠CDE，推出△ABD∽△DCE；
②分三种情况讨论，（1）当AD=AE时，∠ADE=∠AED=45°时，得到∠DAE=90°，点D、E分别与B、C重合；（2）当AD=DE时，由①知△ABD∽△DCE；（3）当AE=DE时，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，得到∠ADC=∠AED=90°，于是得到DE=AE=$\frac{1}{2}$AC=1．

解答 ①证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠BAD+∠ADB=135°，
∵∠ADE=45°，
∴∠ADB+∠EDC=135°，
∴∠BAD=∠EDC，
∴△ABD∽△DCE；

②分三种情况：
（1）当AD=AE时，∠ADE=∠AED=45°时，
∴∠DAE=90°，点D、E分别与B、C重合，
∴AE=AC=2；
（2）当AD=DE时，由①知△ABD∽△DCE，
∵AD=DE，△ABD≌△DCE，
∴AB=CD=2，
∴BD=CE=$2\sqrt{2}-2$，
∴AE=AC-CE=4-$2\sqrt{2}$；
（3）当AE=DE时，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，
∴∠ADC=∠AED=90°，
∴AE=DE=$\frac{1}{2}$AC=1．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质，相似三角形和全等三角形的转化．分情况讨论等腰三角形的可能性是解题的关键．