Question

15．已知抛物线C₁：y=-x²+bx+c经过（-1，-6），（2，0）两点
（1）求抛物线解析式；
（2）将抛物线C₁向上平移6单位得到抛物线C₂，若抛物线C₂与y轴交于点B，与x轴交于点C，D（C在D左边），且点A（m，m+1）在C₂上，连接BD，求点A关于直线BD对称点A′的坐标；
（3）在抛物线C₂上是否存在点P，使△PBD是以BD为直角边的直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据图象向上平移加，可得新抛物线，根据自变量与函数值的对应关系，可得B、D点坐标，根据对称点的中点在对称轴的直线上，对称点的直线的一次项系数与对称轴的一次项的系数互为负倒数，可得方程组，根据解方程组，可得答案；
（3）根据互相垂直的两直线一次项的系数互为负倒数，可得PB的解析式，根据解方程组，可得P点坐标．

解答 解：（1）将（-1，-6），（2，0）代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=-6}\\{-4+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-x²+3x-2；
（2）将抛物线C₁向上平移6单位得到抛物线C₂，得
y=-x²+3x+4，当x=0时，y=4，即B（0，4）．
当y=0时，-x²+3x+4=0．解得x=4，x=-1，即C（-1，0），D（4，0）．
BD的解析式为y=-x+4，设A′（x，y），由题意得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y-m-1}{x-m}=1}\\{\frac{y+m+1}{2}=-\frac{x+m}{2}+4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-m+3}\\{y=-m+4}\end{array}\right.$，
即A′（-m+3，-m+4）．
（3）①当PB⊥BD时，设PD的解析式为y=x+b，将B点坐标代入，得
b=4，
PD的解析式为y=x+4，
联立PD与抛物线y=-x²+3x+4，
得$\left\{\begin{array}{l}{y=x+4}\\{y=-{x}^{2}+3x+4}\end{array}\right.$，
解得x=0（不符合题意，舍），x=-2，
当x=2时，y=-4+6+4=6，即P（2，6）；
②当PD⊥BD时，设PD的解析式为y=x+b，将D点坐标代入，得
b=-4，
PD的解析式为y=x-4，
联立PD与抛物线y=-x²+3x+4，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-4}\\{y=-{x}^{2}+3x+4}\end{array}\right.$，解得x=4（不符合题意，舍），x=-2，
当x=-2时，y=-4-6+4=-6，即P′（-2，-6）．
综上所述：在抛物线C₂上存在点P，使△PBD是以BD为直角边的直角三角形，点P的坐标（2，6），（-2，-6）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用对称点的中点在对称轴的直线上，对称点的直线的一次项系数与对称轴的一次项的系数互为负倒数得出方程组是解题关键；利用互相垂直的两直线一次项的系数互为负倒数得出PB的解析式是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．