Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+4x+c与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E，B，点B坐标为（5，0）．

（1）求二次函数解析式及顶点坐标；

（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x+5，顶点坐标为（2，9）；（2）当P（， ）时，S有最大值为．

【解析】试题分析：（1）用待定系数法求抛物线解析式，并利用配方法求顶点坐标；
（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，-x2+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD=-2x2+10x，根据二次函数求出极值；可得P的坐标．

试题解析：（1）把点A（0，5），点B坐标为（5，0）代入抛物线y=ax2+4x+c中，
得： ，解得： ，

∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，
∴顶点坐标为（2，9）；
（2）设直线AB的解析式为：y=mx+n，
∵A（0，5），B（5，0），
∴，
解得： ，

∴直线AB的解析式为：y=-x+5，
设P（x，-x2+4x+5），则D（x，-x+5），
∴PD=（-x2+4x+5）-（-x+5）=-x2+5x，
∵点C在抛物线上，且纵坐标为5，
∴C（4，5），
∴AC=4，
∴S四边形APCD=ACPD=×4（-x2+5x）=-2x2+10x=-2（x-）2+，
∵-2＜0，
∴S有最大值，
∴当x=时，S有最大值为，
此时P（， ）．