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【题目】如图∠BAC=60°,半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切,P为⊙O上一动点,以P为圆心,PA长为半径的⊙P交射线AB、ACD、E两点,连接DE,则线段DE长度的最大值为(  )

A. 3 B. 6 C. D.

【答案】D

【解析】

连接AO并延长与圆O交于PAF垂直于ED线段DE长最大设圆OAB相切于点M连接OMPD由对称性得到AF为角平分线得到∠FAD30根据切线的性质得到OM垂直于AD在直角三角形AOM利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AO的长AO+OP求出AP的长即为圆P的半径由三角形AED为等边三角形得到DP为角平分线在直角三角形PFD利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出PF的长再利用勾股定理求出FD的长DE=2FD求出DE的长即为DE的最大值.

连接AO并延长ED交于F与圆O交于P此时线段ED最大连接OMPD可得FED的中点.

∵∠BAC=60°,AE=AD∴△AED为等边三角形AF为角平分线即∠FAD=30°.在RtAOMOM=1OAM=30°,OA=2PD=PA=AO+OP=3.在RtPDFFDP=30°,PD=3PF=根据勾股定理得FD==DE=2FD=3

故选D

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