【题目】(1)观察图形:
如图1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,CD⊥AB,AE⊥BC,垂足分别为D、E,CD与AE交于点F.
①写出图1中所有的全等三角形_________________;
②线段AF与线段CE的数量关系是_________________;
(2)问题探究:
如图2,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足为D,AD与BC交于点E.
求证:AE=2CD.
(3)拓展延伸:
如图3,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,点D在AC上,∠EDC=∠BAC,DE⊥CE,垂足为E,DE与BC交于点F.
求证:DF=2CE.
【答案】(1)①△ABE≌△ACE,△ADF≌△CDB;②AF=2CE;(2)答案见解析;(3)答案见解析
【解析】
试题观察图形:①由全等三角形的判定方法容易得出结果;
②由全等三角形的性质即可得出结论;
问题探究:延长交于点,由ASA证明≌,得出对应边相等 即 证出 由ASA证明≌得出即可.
拓展延伸:作DG⊥BC于点H,交CE的延长线于G,同上证明三角形全等,得出即可.
试题解析:
(1)观察图形:
①△ABE≌△ACE,△ADF≌△CDB;
②AF=2CE;
(2)问题探究:
证明:延长AB、CD交于点G,如图2所示:
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠GAD,
∵AD⊥CD,
∴∠ADC=∠ADG=90°,
在△ADC和△ADG中,
,
∴△ADC≌△ADG(ASA),
∴CD=GD,
即CG=2CD,
∵∠BAC=45°,AB=BC,
∴∠ABC=90°,
∴∠CBG=90°,
∴∠G+∠BCG=90°,
∵∠G+∠BAE=90°,
∴∠BAE=∠BCG,
在△ABE和△CBG中,
∴△ADC≌△CBG(ASA),
∴AE=CG=2CD.
(3)拓展延伸:
证明:作DG⊥BC于点H,交CE的延长线于G,
∵∠BAC=45°,AB=BC,
∴AB⊥BC,
∴DG∥AB,
∴∠GDC=∠BAC=45°,
∴∠EDC=∠BAC=22.5°=∠EDG,DH=CH,
又∵DE⊥CE,
∴∠DEC=∠DEG=90°,
在△DEC和△DEG中,
∴△DEC≌△DEG(ASA),
∴DC=DG,CG=2CE,
∵∠DHF=∠CEF=90°,∠DFH=∠CFE,
∴∠FDH=∠GCH,
在△DHF和△CHG中,
∴△DHF≌△CHG(ASA),
∴DF=CG=2CE.
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【题目】已知a=b,下列变形正确的有( )个.
①a+c=b+c;②a﹣c=b﹣c;③3a=3b;④ac=bc;⑤.
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
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【题目】已知关于x,y的方程组,其中-3≤a≤1,给出下列结论:①当a=1时,方程组的解也是方程x+y=4-a的解;②当a=-2时,x、y的值互为相反数;③若x≤1,则1≤y≤4;④是方程组的解,其中正确的是( )
A.①②B.③④C.①②③D.①②③④
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【题目】我们用表示不大于的最大整数,例如:,,;用表示大于的最小整数,例如:,,.解决下列问题:
(1)= ,,= ;
(2)若=2,则的取值范围是 ;若=-1,则的取值范围是 ;
(3)已知,满足方程组,求,的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,A(1, 2),B(3, 1),C(-2, -1).
(1)在图中作出关于轴对称的.
(2)写出点的坐标(直接写答案).
A1 ______________ , B1 ______________,C1 _____________;
(3)求△ABC的面积.
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【题目】在棋盘中建立如图的直角坐标系,三颗棋子A,O,B的位置如图,它们分别是(﹣1,1),(0,0)和(1,0).
(1)如图2,添加棋子C,使A,O,B,C四颗棋子成为一个轴对称图形,请在图中画出该图形的对称轴;
(2)在其他格点位置添加一颗棋子P,使A,O,B,P四颗棋子成为一个轴对称图形,请直接写出棋子P的位置的坐标.(写出2个即可)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,A(﹣2,2),B(﹣3,﹣2)
(1)若点C与点A关于原点O对称,则点C的坐标为 ;
(2)将点A向右平移5个单位得到点D,则点D的坐标为 ;
(3)由点A,B,C,D组成的四边形ABCD内(不包括边界)任取一个横、纵坐标均为整数的点,求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率.
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