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【题目】(1)观察图形

如图1,△ABCAB=AC,∠BAC=45°,CDABAEBC垂足分别为DECDAE交于点F

写出图1中所有的全等三角形_________________;

线段AF与线段CE的数量关系是_________________;

(2)问题探究

如图2,△ABC,∠BAC=45°,AB=BCAD平分BACADCD垂足为DADBC交于点E

求证AE=2CD

(3)拓展延伸

如图3,△ABC,∠BAC=45°,AB=BCDAC,∠EDC=BACDECE垂足为EDEBC交于点F

求证DF=2CE

【答案】(1)①△ABE≌△ACE,△ADF≌△CDB;②AF=2CE;(2)答案见解析;(3)答案见解析

【解析】

试题观察图形:①由全等三角形的判定方法容易得出结果;
②由全等三角形的性质即可得出结论;
问题探究:延长交于点,由ASA证明,得出对应边相等 证出 ASA证明得出即可.
拓展延伸:作DGBC于点H,交CE的延长线于G同上证明三角形全等,得出即可.

试题解析:

(1)观察图形:

①△ABE≌△ACEADF≌△CDB

AF=2CE

(2)问题探究:

证明:延长ABCD交于点G,如图2所示:

AD平分∠BAC

∴∠CAD=GAD

ADCD

∴∠ADC=ADG=90°,

在△ADC和△ADG中,

∴△ADC≌△ADG(ASA),

CD=GD

CG=2CD

∵∠BAC=45°,AB=BC

∴∠ABC=90°,

∴∠CBG=90°,

∴∠G+BCG=90°,

∵∠G+BAE=90°,

∴∠BAE=BCG

在△ABE和△CBG中,

∴△ADC≌△CBG(ASA),

AE=CG=2CD

(3)拓展延伸:

证明:作DGBC于点H,交CE的延长线于G

∵∠BAC=45°,AB=BC

ABBC

DGAB

∴∠GDC=BAC=45°,

∴∠EDC=BAC=22.5°=EDGDH=CH

又∵DECE

∴∠DEC=DEG=90°,

在△DEC和△DEG中,

∴△DEC≌△DEG(ASA),

DC=DGCG=2CE

∵∠DHF=CEF=90°,DFH=CFE

∴∠FDH=GCH

在△DHF和△CHG中,

∴△DHF≌△CHG(ASA),

DF=CG=2CE

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