Question

【题目】已知抛物线过点（3，1），D为抛物线的顶点．直线l：经过定点A．

（1）直接写出抛物线的解析式和点A的坐标；

（2）如图，直线l与抛物线交于P，Q两点．

①求证：∠PDQ=90°；

②求△PDQ面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为；A（1,4）（2）①证明见解析；②当时，取得最小值16．

【解析】

（1）将点代入解析式求得的值即可；直线l：经过定点A．

即此时取值与K无关，即=中K系数为0，即可求出点A坐标。

（2）①设点的坐标为，，点为，，联立直线和抛物线解析式，化为关于的方程可得，据此知，由、、、知，即，从而得，据此进一步求解可得；

②过点作轴的垂线交直线于点，则，根据列出关于的等式求解可得．

解：（1）将点代入解析式，得：，

解得：，

所以抛物线解析式为；

∵直线l：经过定点A．

∴=中当x=1时，y=4，

∴定点A为（1,4）.

（2）①证明：设点的坐标为，，点为，，（其中，，，

由，得：，

，

，

如图2，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，

则，，

、，

，

，

又，

，

，

而，

，即；

②过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为，

所以，

，

当时，取得最小值16．