Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（6，6），（6，0），抛物线y＝﹣（x﹣m）2+n的顶点P在折线OA﹣AB上运动．

（1）当点P在线段OA上运动时，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+n与y轴交点坐标为（0，c）．

①用含m的代数式表示n，

②求c的取值范围．

（2）当抛物线y＝﹣（x﹣m）2+n经过点B时，求抛物线所对应的函数表达式；

（3）当抛物线与△ABO的边有三个公共点时，直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）①n＝m；②c的取值范围为﹣30≤c≤；（2）y＝﹣（x﹣6）2；（3）满足条件的点P坐标为（1，1）或（6，6）或（6，）

【解析】

（1）①设直线OA的解析式为y=kx，把点（6，6）代入可得k=1，推出y=x．因为y=-（x-m）2+n的顶点P在OA上，推出n=m．②由题意：y=-x2+2mx-m2+m，由抛物线与y轴交点坐标为（0，c），推出c=-m2+m，根据0≤m≤6，利用二次函数的性质即可解决问题．
（2）把B（6，0）代入抛物线的解析式即可解决问题．
（3）分三种情形①当抛物线经过点O时，抛物线与△ABO的边有三个公共点，
②当抛物线经过点A时，抛物线与△ABO的边有三个公共点，此时P（6，6）．
③当点P在AB上运动，抛物线与OA只有一个公共点时，抛物线与△ABO的边有三个公共点．

解：（1）①设直线OA的解析式为y＝kx，∵经过（6，6），

∴6k＝6，

∴k＝1，

∴y＝x．

∵y＝﹣（x﹣m）2+n的顶点P在OA上，

∴n＝m．

②由题意：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m，

∵抛物线与y轴交点坐标为（0，c），

∴c＝﹣m2+m，

∵点P在线段OA上，

∴0≤m≤6，﹣＝﹣＝，

∵0＜＜6，

∴当m＝时，c＝﹣（）2+＝，

当m＝6时，c＝﹣62+6＝﹣30，

∴c的取值范围为﹣30≤c≤．

（2）当点P在线段OA上时，

∵抛物线经过B（6，0），

∴﹣（6﹣m）2+m＝0，

∴m＝4或9（舍弃），

∴y＝﹣（x﹣4）2+4，

当点P在线段AB上时，点P与点B重合，

∴m＝6，

∴y＝﹣（x﹣6）2．

（3）①当抛物线经过点O时，抛物线与△ABO的边有三个公共点，

把（0，0）代入抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m得到m＝1或0（舍弃），此时P（1，1）．

②当抛物线经过点A时，抛物线与△ABO的边有三个公共点，此时P（6，6）．

③当点P在AB上运动，抛物线与OA只有一个公共点时，抛物线与△ABO的边有三个公共点，

由消去y得到x2﹣11x+36﹣n＝0，

由题意△＝0，∴121﹣4（36﹣n）＝0，

∴n＝，

∴P（6，），

综上所述，满足条件的点P坐标为（1，1）或（6，6）或（6，）