Question

【题目】如图，已知矩形ABCD，P为BC上的一点，连接AP，过D点作DH⊥AP于H，AB=, BC=4,当△CDH为等腰三角形时，则BP=_________________.

Answer 1

【答案】、或2

【解析】

分HD=HC、DH=DC以及CH=CD三种情况考虑：

①当HD=HC时，过点H作HE⊥CD于点E，延长EH交AB于点F，连接DP，由△CDH为等腰三角形得出点H为AP的中点，再结合DH⊥AP可得出AD=DP，设BP=a，利用勾股定理即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可得出结论；

②当DH=DC时，利用勾股定理可求出AH的长度，进而得出∠DAH=45°，由平行线的性质可得出∠APB=45°，进而得出△ABP为等腰直角三角形，即BP=AB；

③当CH=CD时，过点C作CE⊥DH于点E，延长CE交AD于点F，根据等腰三角形的性质即可得出DF=AFAD，由DH⊥CF、DH⊥AP即可得出CF∥AP，结合AF∥CP即可得出四边形AFCP为平行四边形，进而得出AF=CP，再根据平行线的性质即可得出AF的长度，结合BC的长度以及AF=CP即可求出BP的长度．

①当HD=HC时，过点H作HE⊥CD于点E，延长EH交AB于点F，连接DP，如图1所示．

∵HD=HC，∴点E为CD的中点．

∵EF∥AD，∴FH为△ABP的中位线，∴AH=HP．

∵DH⊥AP，∴△DAP为等腰三角形，∴AD=DP．

设BP=a，则CP=4﹣a，由勾股定理得：DP2=CD2+CP2，即16=8+（4﹣a）2，解得：a=4﹣2，或a=﹣4﹣2（舍去）；

②当DH=DC时，如图2所示．

∵DC=AB=2，∴DH=2．

在Rt△AHD中，AD=4，DH=2，∴AH2，∴AH=DH，∴∠DAH=∠ADH=45°．

∵AD∥BC，∴∠APB=∠DAH=45°．

∵∠B=90°，∴△ABP为等腰直角三角形，∴BP=AB=2；

③当CH=CD时，过点C作CE⊥DH于点E，延长CE交AD于点F，如图3所示．

∵CH=CD，CE⊥DH，∴DE=HEDH．

∵DH⊥CF，DH⊥AP，∴CF∥AP．

∵AF∥CP，∴四边形AFCP为平行四边形，∴AF=CP．

∵EF∥AH，DE=HE，∴DF=AFAD=2，∴BP=BC﹣CP=BC﹣AF=4﹣2=2．

综上所述：BP的长度为、或2．

故答案为：、或2．