【题目】如图1:在平面直角坐标系内,O为坐标原点,线段AB两端点在坐标轴上且点A(﹣4,0),点B(0,3),将AB向右平移4个单位长度至OC的位置
(1)直接写出点C的坐标 ;
(2)如图2,过点C作CD⊥x轴于点D,在x轴正半轴有一点E(1,0),过点E作x轴的垂线,在垂线上有一动点P,直接写出:①点D的坐标 ; ②三角形PCD的面积为 ;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接AC,当△ACP的面积为时,直接写出点P的坐标 .
【答案】(1)(4,3);(2)(4,0);;(3)(1,6)或(1,﹣).
【解析】
(1)由平移的性质得出点C的横坐标为:0+4=4,纵坐标与点B的相同,即可得出答案;
(2)求出点D的坐标为:(4,0);求出CD=3,由三角形面积公式即可得出结果;
(3)分两种情况:①当点P在AC的上方时,延长AP、DC交于点H,过点P作PN⊥CH于N,则四边形PEDN是矩形,得出PN=ED=4-1=3,由三角形面积求出CH=,得出HD=,则点H的坐标为:(4,),由待定系数法求出直线AH的解析式为:y=x+,即可得出点P的坐标;
②当点P在AC的上方时,延长AP、CD交于点H,过点P作PN⊥CH于N,解法同①.
解:(1)∵线段AB两端点在坐标轴上且点A(﹣4,0),点B(0,3),将AB向右平移4个单位长度至OC的位置,
∴点C的横坐标为:0+4=4,纵坐标与点B的相同,
∴点C的坐标为:(4,3),
故答案为:(4,3);
(2)如图2所示:
∵过点C作CD⊥x轴于点D,
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同,
∴点D的坐标为:(4,0);
∵点E(1,0),
∴ED=3,
∵CD⊥x轴,
∴CD=3,
∵过点E作x轴的垂线,在垂线上有一动点P,
∴PE∥CD,
∴△PCD的是以CD为底、ED为高,
∴S△PCD=CDED=×3×3=;
故答案为:(4,0);;
(3)AD=4﹣(﹣4)=8,分两种情况:
①当点P在AC的上方时,如图3所示:
延长AP、DC交于点H,过点P作PN⊥CH于N,则四边形PEDN是矩形,
∴PN=ED=4﹣1=3,∵S△ACP=S△ACH﹣S△PCH=ADCH﹣PNCH=×8×CH﹣×3×CH=CH=,
∴CH=,
∴HD=3+=,
则点H的坐标为:(4,),
设直线AH的解析式为:y=kx+a,
则,
解得:,
∴y=x+,
∵点P的横坐标x=1,
∴点P的纵坐标为: +=6,
∴点P的坐标为:(1,6);
②当点P在AC的上方时,如图4所示:
延长AP、CD交于点H,过点P作PN⊥CH于N,则四边形PEDN是矩形,
∴PN=ED=4﹣1=3,
∵S△ACP=S△ACH﹣S△PCH=ADCH﹣PNCH=×8×CH﹣×3×CH=CH=,
∴CH=,
∴HD=﹣3=,
则点H的坐标为:(4,﹣),
设直线AH的解析式为:y=kx+a,
则:,
解得:,
∴y=﹣x﹣,
∵点P的横坐标x=1,
∴点P的纵坐标为:﹣﹣=﹣,
∴点P的坐标为:(1,﹣);
综上所述,点P的坐标为:(1,6)或(1,﹣).;
故答案为:(1,6)或(1,﹣).
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【题目】如图,抛物线与轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与轴交于点C,顶点为D,下列结论正确的是( )
A. abc<0 B. 3a+c=0 C. 4a-2b+c<0 D. 方程ax2+bx+c=-2(a≠0)有两个不相等的实数根
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【题目】定义:一个自然数,右边的数字总比左边的数字小,我们称它为“下滑数”(如:32,641,8531等).现从两位数中任取一个,恰好是“下滑数”的概率为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线l1:y=kx+4与y轴交于点A,与x轴交于点B.
(1)请直接写出点A的坐标:______;
(2)点P为线段AB上一点,且点P的横坐标为m,现将点P向左平移3个单位,再向下平移4个单位,得点P′在射线AB上.
①求k的值;
②若点M在y轴上,平面内有一点N,使四边形AMBN是菱形,请求出点N的坐标;
③将直线l1绕着点A顺时针旋转45°至直线l2,求直线l2的解析式.
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【题目】在如图所示的方格中,△OAB 的顶点坐标分别为 O(0,0)、A(﹣2,﹣1)、B(﹣1,﹣3),△O1A1B1 与△OAB 是以点 P 为位似中心的位似图形.
(1)位似中心 P 的坐标是 ,△O1A1B1与△OAB 的相似比为 ;
(2)以原点 O 为位似中心,在 y 轴的左侧画出△OAB 的另一个位似三角形,使它与△OAB 的相似比为 2:1,并写出点 B 的对应点的坐标是 .
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【题目】如图,在△ABC中,∠B=45°,∠ACB=60°,AB=16,AD⊥BC,垂足为D,∠ACB的平分线交AD于点E,则AE的长为( )
A.B.4C.D.6
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【题目】如图,等边△ABC的边长是2,D、E分别为AB、AC的中点,过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F,连接CD.
(1)求证:DE=CF;
(2)求EF的长.
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【题目】音乐喷泉(图1)可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化.某种音乐喷泉形状如抛物线,设其出水口为原点,出水口离岸边18m,音乐变化时,抛物线的顶点在直线y=kx上变动,从而产生一组不同的抛物线(图2),这组抛物线的统一形式为y=ax2+bx.
(1)若已知k=1,且喷出的抛物线水线最大高度达3m,求此时a、b的值;
(2)若k=1,喷出的水恰好达到岸边,则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米?
(3)若k=3,a=﹣,则喷出的抛物线水线能否达到岸边?
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P,连接AP.
(1)求证:PA平分∠BAC的外角∠CAM;
(2)过点C作CE⊥AP,E是垂足,并延长CE交BM于点D.求证:CE=ED.
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