Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l1：y=kx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B．

（1）请直接写出点A的坐标：______；

（2）点P为线段AB上一点，且点P的横坐标为m，现将点P向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得点P′在射线AB上．

①求k的值；

②若点M在y轴上，平面内有一点N，使四边形AMBN是菱形，请求出点N的坐标；

③将直线l1绕着点A顺时针旋转45°至直线l2，求直线l2的解析式．

Answer 1

【答案】（1）（0，4）；（2）①k=；②N（-3，）；③直线l2的解析式为y=x+4．

【解析】

（1）令，求出相应的y值，即可得到A的坐标；

（2）①先设出P的坐标，然后通过点的平移规律得出平移后 的坐标，然后将代入 中即可求出k的值；

②作AB的中垂线与y轴交于M点，连结BM，分别作AM，BM的平行线，相交于点N，则四边形AMBN是菱形, 设M（0，t），然后利用勾股定理求出t的值，从而求出OM的长度，然后利用BN=AM求出BN的长度，即可得到N的坐标；

③先根据题意画出图形，过点B作BC⊥l1，交l2于点C，过点C作CD⊥x轴于D，利用等腰三角形的性质和AAS证明△AOB≌△BDC，得出AO=BD，OB=DC，进一步求出点C的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线l2的解析式．

（1）∵y=kx+4与y轴交于点A，

令， ，

∴A（0，4）．

（2）①由题意得：P（m，km+4），

∵将点P向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得点P′，

∴P′（m-3，km），

∵P′（m-3，km）在射线AB上，

∴k（m-3）+4=km，

解得：k=．

②如图，作AB的中垂线与y轴交于M点，连结BM，过点B作AM的平行线，过点A作BM的平行线，两平行线相交于点N，则四边形AMBN是菱形．

，

，

当 时，，解得 ，

∴ ．

设M（0，t），则AM=BM=4-t，

在Rt△BOM中，OB2+OM2=BM2，

即32+t2=（4-t）2，

解得：t=，

∴M（0，），

∴OM=，BN=AM=4-=，

∴N（-3，）．

③如图，过点B作BC⊥l1，交l2于点C，过点C作CD⊥x轴于D．则∠ABC=∠BDC=90°，

∵∠BAC=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=BC，∠ABO+∠CBD=90°，

又∵∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠BAO=∠CBD，

在和中，

∴△AOB≌△BDC（AAS），

∴AO=BD=4，OB=DC=3，

∴OD=OB+BD=3+4=7，

∴C（-7，3），

设直线 l2的解析式为：y=ax+4，

则-7a+4=3，

解得：a=．

∴直线 l2的解析式为：y=x+4．