Question

20．已知等边△ABC内接于⊙O，AD为O的直径交线段BC于点M，DE∥BC，交AB的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线； 
（2）若等边△ABC的边长为6，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出O即是△ABC的外心，又是△ABC的内心，得出∠BAM=∠CAM=30°，因此∠AMB=90°，由平行线的性质得出∠EDA=90°，即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质得出BM=$\frac{1}{2}$AB=3，连接OB，则∠OBM=30°，得出OM=$\frac{1}{2}$OB，由勾股定理求出OB，由平行线的性质得出$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AM}{AD}$，求出AE，即可得出BE的长．

解答 （1）证明：∵等边△ABC内接于⊙O，
∴∠ABC=60°，O即是△ABC的外心，又是△ABC的内心，
∴∠BAM=∠CAM=30°，
∴∠AMB=90°，
∵DE∥BC，
∴∠EDA=∠AMB=90°，
∵AD为⊙O的直径，
∴DE是⊙O的切线； 
（2）解：∵△ABC是等边三角形，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=3，
连接OB，如图所示：
则∠OBM=30°，
∴OM=$\frac{1}{2}$OB，
由勾股定理得：OB²-OM²=BM²，
即OB²-（$\frac{1}{2}$OB）²=3²，
解得：OB=2$\sqrt{3}$，
∴OM=$\sqrt{3}$，AM=3$\sqrt{3}$，AD=4$\sqrt{3}$，
∵DE∥BC，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AM}{AD}$，即$\frac{6}{AE}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}$，
解得：AE=8，
∴BE=AE-AB=8-6=2．

点评 本题考查了切线的判定、等边三角形的性质、平行线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握切线的判定和等边三角形的性质，由勾股定理求出半径是解决问题的突破口．