Question

12．在平面直角坐标系中，∠ACO=90°．把AO绕O点顺时针旋转90°得OB，连接AB，作BD⊥x轴于D，点A的坐标为（-3，1）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若AB中点为M，连接CM，点P是射线CM上的动点，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，设点P的横坐标为t，△PQO的面积为S（S≠0），求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，动点P在运动过程中，是否存在P点，使以P、O、B、N（N为平面上一点）为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先证明△AOC≌△OBD，得出AC=OD=1，OC=BD=3，B（1，3），设直线AB的解析式为：y=kx+b，把点A（-3，1），B（1，3）代入得出方程组，解方程组求出k、b，即可得出直线AB的解析式；
（2）先求出M的坐标，再求出直线CM的解析式，得出P的坐标，即可得出S与t的函数关系式以及t的取值范围；
（3）分两种情况：①点P为直线OA与CM的交点时，由直线OA和CM的解析式组成方程组，解方程组即可求出P的坐标；
②作BP⊥OB交CM于P，求出直线BP的解析式，再求出直线BP与CM的交点坐标即可．

解答 解：（1）根据题意得：OA=OB，∠AOB=90°，OC=3，AC=1，C（-3，0），
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵BD⊥x轴于D，
∴∠BDO=90°，
∴∠OBD+∠BOD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△OBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACO=∠BDO=90°}&{\;}\\{∠AOC=∠BOD}&{\;}\\{OA=OB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴AC=OD=1，OC=BD=3，
∴B（1，3），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把点A（-3，1），B（1，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=1}\\{k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{5}{2}$，
∴直线AB的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$；
（2）∵M是AB的中点，A（-3，1），B（1，3），
∴M（-1，2），
设直线CM的解析式为：y=ax+c，
把点C（-3，0），M（-1，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3a+c=0}\\{-a+c=2}\end{array}\right.$，
解得：a=1，c=3，
∴直线CM的解析式为：y=x+3，
设P的坐标为（t，t+3），
则△PQO的面积S=$\frac{1}{2}$×t×（t+3）=$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t，
∵点P是射线CM上的动点，
∴t≥-3，
∴S=$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t（t≥-3）；
（3）存在，点P坐标为（-$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{4}$），或（$\frac{1}{4}$，$\frac{13}{4}$）；
理由如下：分两种情况讨论：
①点P为直线OA与CM的交点时；
∵A（-3，1），
∴直线OA的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x}\\{y=x+3}\end{array}\right.$  得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{9}{4}}\\{y=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴P（-$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{4}$）；
②作BP⊥OB交CM于P，如图所示：
则∠OBP=90°，
∵∠AOB=90°，
∴BP∥OA，
设直线BP的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x+b，
把点B（1，3）代入得：b=$\frac{10}{3}$，
∴直线BP的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{10}{3}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-\frac{1}{3}x+\frac{10}{3}}\end{array}\right.$ 得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{4}}\\{y=\frac{13}{4}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{1}{4}$，$\frac{13}{4}$）；
综上所述：存在P点，使以P、O、B、N（N为平面上一点）为顶点的四边形是矩形，点P坐标为P（-$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{4}$），或（$\frac{1}{4}$，$\frac{13}{4}$）．

点评 本题是一次函数综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、用待定系数法求一次函数的解析式、二元一次方程组的解法等知识，本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过分类讨论，求出两条直线的交点才能得出结果．