Question

2．如图所示，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k＞0）的图象经过点A（1，4）和点B（a，b），其中a＞1，过点A作x轴的垂线，垂点为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，AC与BD相交于点E，连接AD，DC，CB．
（1）求证：DC∥AB；
（2）当AB=CD时，判断四边形ABCD的形状，并求这时直线AB的表达式．

Answer 1

分析 （1）由条件可先求得反比例函数解析式，可用a表示出B点坐标，依题意可证$\frac{BE}{DE}$=a-1，$\frac{AE}{CE}$=a-1，$\frac{BE}{DE}$=$\frac{AE}{CE}$，可证得DC∥AB；
（2）由于DC∥AB，当AD=BC时，有两种情况：
①当AD∥BC时，四边形ADCB是平行四边形，由（2）得，点B的坐标是（2，2），设直线AB的函数解析式为y=kx+b，用待定系数法可以求出解析式（把点A，B的坐标代入），是y=-2x+6．
②当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，则BD=AC，可求点B的坐标是（4，1），设直线AB的函数解析式y=kx+b，用待定系数法可以求出解析式（把点A，B的坐标代入），是y=-x+5．

解答 （1）证明：∵函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k是常数）图象经过A（1，4），
∴k=4．
∴y=$\frac{4}{x}$，
设BD，AC交于点E，据题意，可得B点的坐标为（a，$\frac{4}{a}$）
∴点C的坐标为（1，0），DE=1，
∵a＞1，
∴EC=$\frac{4}{a}$，BE=a-1，
∴$\frac{BE}{DE}$=a-1，$\frac{AE}{CE}$=a-1，即$\frac{BE}{DE}$=$\frac{AE}{CE}$，
又∵∠AEB=∠CED，
∴△AEB∽△CED，
∴∠BAE=∠DCE，
∴DC∥AB；
（2）解：∵DC∥AB，
∴当AD=BC时，有两种情况：
①当AD∥BC时，四边形ADCB是平行四边形，由（2）得，$\frac{BE}{DE}$=$\frac{AE}{CE}$=a-1，
∴a-1=1，得a=2．
∴点B的坐标是（2，2）．
设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把点A，B的坐标代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{4=k+b}\\{2=2k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$．
故直线AB的函数解析式是y=-2x+6．
②当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，则BD=AC，
∴a=4，
∴点B的坐标是（4，1）．
设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把点A，B的坐标代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{4=k+b}\\{1=4k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
故直线AB的函数解析式是y=-x+5．
综上所述，所求直线AB的函数解析式是y=-2x+6或y=-x+5．

点评 本题主要考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、平行线的判定、平行四边形的判定等知识点．在（1）中用B点的坐标分别表示出相应线段的长，利用相似三角形的性质证明∠BAE=∠DCE是解题的关键，在（2）中注意分类讨论的应用，分两种情况分别求得直线AB的解析式．本题所考查知识点较基础，难度适中．