Question

14．阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|=|x-0|．也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为|x₁-x₂|表示在数轴上数x₁与x₂对应的点之间的距离．请你根据对以上知识的理解解答下列问题．
（1）如果|x-2|+|x+1|=3，求x的取值范围；
（2）如果|x-3|+|2+x|＞5，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如果|x-2|+|x+1|=3，则$\left\{\begin{array}{l}{x-2≤0}\\{x+1≥0}\end{array}\right.$，据此解不等式，求出x的取值范围即可．
（2）首先根据x的取值范围，求出|x-3|+|2+x|的值是多少；然后根据一元一次不等式的求解方法，求出x的取值范围即可．

解答 解：（1）∵|x-2|+|x+1|=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2≤0}\\{x+1≥0}\end{array}\right.$，
解得-1≤x≤2，
即x的取值范围是：-1≤x≤2．

（2）①当x≤-2时，
∵|x-3|+|2+x|＞5，
∴-（x-3）-（2+x）＞5，
∴-2x+1＞5，
解得x＜-2；
∴x的取值范围是：x＜-2．
②当-2＜x＜3时，
∵|x-3|+|2+x|＞5，
∴-（x-3）+（2+x）＞5，
∴5＞5，
此题x无解；
③当x≥3时，
∵|x-3|+|2+x|＞5，
∴（x-3）+（2+x）＞5，
∴2x-1＞5，
解得x＞3；
综上，可得x的取值范围是：x＜-2或x＞3．

点评 （1）此题主要考查了绝对值的含义以及求法，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a； ③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|={a（a＞0）0（a=0）-a（a＜0）．
（2）此题还考查了一元一次不等式的求法，要熟练掌握．