Question

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AF=4，EF⊥AC交AB于E，CD⊥AB，垂足为D．若CD=4，EF=3．则ED=$\frac{1}{3}$，BC=5，AB=$\frac{25}{3}$．

Answer 1

分析 先根据勾股定理求出AE的长，再由锐角三角函数的定义得出AD的长，由ED=AD-AE可得出ED的长；同理，根据直角三角形的性质得出∠BCD=∠EAF，由锐角三角函数的定义求出BD及BC的长，进而可得出AB的长．

解答 解：∵AF=4，EF⊥AC交AB于E，EF=3，
∴AE=$\sqrt{{AF}^{2}+{EF}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
∵CD⊥AB，CD=4，
∴tan∠A=$\frac{EF}{AF}$=$\frac{CD}{AD}$，即$\frac{3}{4}$=$\frac{4}{AD}$，解得AD=$\frac{16}{3}$，
∴ED=AD-AE=$\frac{16}{3}$-5=$\frac{1}{3}$．
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A，
∴tan∠BCD=tan∠A=$\frac{EF}{AF}$=$\frac{BD}{CD}$，即$\frac{3}{4}$=$\frac{BD}{4}$，解得BD=3，
∴AB=AD+BD=$\frac{16}{3}$+3=$\frac{25}{3}$，
∴BC=$\sqrt{{AD}^{2}+{BD}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
故答案为：$\frac{1}{3}$，5，$\frac{25}{3}$．

点评 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．