Question

20．如图，已知BO⊥PO，AB是⊙O上弦，点C是⊙O上的动点，∠CBA=∠ACP．
（1）求证：PC与⊙O相切；
（2）若点A是PO的中点，⊙O的半径是2，求四边形OACB的面积．

Answer 1

分析 （1）先求得∠OAC=∠OCA，从而根据三角形内角和定理得出2∠OCA+∠AOC=180°，进而得出$∠OCA+\frac{1}{2}∠AOC$=90°，由∠CBA=∠ACP，$∠CBA=\frac{1}{2}∠AOC$，得出∠OCA+∠ACP=90°，即可证得结论；
（2）根据已知求得三角形AOC是等边三角形，进而得出∠BOC=30°，作CD⊥OP，BE⊥OC，通过解直角三角形求得CD、BE，然后根据S_{四边形OACB}=S_△AOC+S_△BOC即可求得．

解答 解：（1）∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠OAC+∠OCA+∠AOC=180°，
∴2∠OCA+∠AOC=180°，
∴$∠OCA+\frac{1}{2}∠AOC$=90°，
∵∠CBA=∠ACP，$∠CBA=\frac{1}{2}∠AOC$，
∴∠OCA+∠ACP=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC与⊙O相切；
（2）∵∠PCO=90°，点A是PO的中点，
∴AC=OC=PA，
∵OC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∵BO⊥PO，
∴∠BOC=30°，
作CD⊥OP，BE⊥OC，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OC=$\sqrt{3}$，BE=$\frac{1}{2}$OB=1，
∴S_{四边形OACB}=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$OA•CD+$\frac{1}{2}$OC•BE=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×2×1=$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等，作出辅助线，求得三角形的高CD、BE是解题的关键．