Question

如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD．求证：AC=BD．

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：连接OA、OC、OD、OB，如图，根据等腰三角形的性质，由OC=OD得∠C=∠D，再利用平行线的性质得∠1=∠C，∠2=∠D，则∠1=∠2，接着利用三角形外角性质得∠1=∠A+∠3，∠2=∠B+∠4，加上∠A=∠B，则∠3=∠4，根据圆心角、弧、弦的关系得到

AC

=

BD

，于是有AC=BD．

解答：证明：连接OA、OC、OD、OB，如图，
∵OC=OD，
∴∠C=∠D，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠C，∠2=∠D，
∴∠1=∠2，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
而∠1=∠A+∠3，∠2=∠B+∠4，
∴∠3=∠4，
∴

AC

=

BD

，
∴AC=BD．

点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．