Question

如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足为D，sin∠DBC=

2

7

．
（1）求

BC

AC

的值；
（2）如果△ABC的周长18，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：解直角三角形,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E，则点E是BC的中点．通过解直角△BCD求得

EC

AC

=

2

7

，故

1 2 BC

AC

=

2

7

，则即

BC

AC

=

4

7

；
（2）利用三角形的周长公式求得三角形的三边长度，然后通过勾股定理求得AE的长度，则利用三角形的面积公式进行解答．

解答：解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E．
∵AB=AC，
∴点E是BC的中点．
又∵BD⊥AC，垂足为D，sin∠DBC=

2

7

．
∴cos∠ECA=sin∠DBC=

2

7

，即

EC

AC

=

2

7

，
∴

1 2 BC

AC

=

2

7

，则

BC

AC

=

4

7

；

（2）由（1）知，

BC

AC

=

4

7

．
故设AC=7a，BC=4a．
依题意得 14a+4a=18，
解得 a=1．
则AC=7，BC=4．
∴在直角△AEC中，由勾股定理得：AE=

AC2-EC2

=

72-22

=3

5

，
则△ABC的面积=

1

2

BC•AE=

1

2

×4×3

5

=6

5

．

点评：本题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质．此题利用勾股定理求得AE的长度．