Question

如图所示，点O是等边△ABC内一点，∠BOC=α，∠AOB=β（α、β均不是锐角），将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
探求一：
（1）①当β=110°，α=120°时，∠OAD=

 

②当β=120°，α=100°时，∠OAD=

 

③当β=130°，α=n°时，∠OAD=

 

④∠OAD与α、β之间的哪一个角度有关系？写出关系式．
（2）当β=100°，α等于多少时，△ADO是等腰三角形．（直接写出所有情形）
探求二：
①当△OAD是等边三角形时，求α、β的度数．
②四边形ADCO能否成为平行四边形？若能，说明理由；若不能，也请说明理由．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）①、②、③图形旋转的性质得出△ADC≌△BOC，故∠BCO=∠ACD，OC=CD，∠ADC=∠BOC．再根据△ABC是等边三角形得出△OCD是等边三角形，进而得出∠ADO的度数，根据周角的定义得出∠AOD的度数，由三角形内角和定理即可得出结论；
④由①②③的结论可找出规律．
（2）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．
①当△AOD是等边三角形时，根据等边三角形的性质即可求出α、β的度数．
②根据平行四边形的两组对角分别相等可得出结论．

解答：解：（1）①∵△ADC由△BOC旋转而成，
∴△ADC≌△BOC，
∴∠BCO=∠ACD，OC=CD，∠ADC=∠BOC=120°，
∵△ACB是等边三角形，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠CDO=∠DOC=60°．
∴∠ADO=ADC-∠CDO=120°-60°=60°，
∵β=110°，α=120°，∠DOC=60°，
∴∠AOD=360°-110°-120°-60°=70°，
∴∠OAD=180°-70°-60°=50°．
故答案为：50°；

②∵△ADC由△BOC旋转而成，
∴△ADC≌△BOC，
∴∠BCO=∠ACD，OC=CD，∠ADC=∠BOC=100°，
∵△ACB是等边三角形，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠CDO=∠DOC=60°．
∴∠ADO=ADC-∠CDO=100°-60°=40°，
∵β=120°，α=100°，∠DOC=60°，
∴∠AOD=360°-120°-100°-60°=80°，
∴∠OAD=180°-80°-40°=60°．
故答案为：60°；

③∵△ADC由△BOC旋转而成，
∴△ADC≌△BOC，
∴∠BCO=∠ACD，OC=CD，∠ADC=∠BOC=n°，
∵△ACB是等边三角形，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠CDO=∠DOC=60°．
∴∠ADO=ADC-∠CDO=n°-60°，
∵β=130°，α=n°，∠DOC=60°，
∴∠AOD=360°-130°-n°-60°=170°-n°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（170°-n°）-（n°-60°）=70°．
故答案为：70°；

④由①②③可知，④∠OAD与β有关，且∠OAD=β-60°．

（2）若△AOD是等腰三角形，
所以分三种情况：①∠AOD=∠ADO；②∠ODA=∠OAD；③∠AOD=∠DAO，
∵∠AOB=100°，∠COD=60°，
∴∠BOC=360°-100°-60°-∠AOD=200°-∠AOD，
而∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO，
由①∠AOD=∠ADO可得∠BOC=∠AOD+60°，
求得α=130°；
由②∠ODA=∠OAD可得α-60°+α-60°+200°-α=180°，
求得α=100°；
由③∠AOD=∠DAO可得200°-α+200°-α+α-60°=180°，
∠BOC=240°-2∠AOD，
求得α=160°；
综上可知α=130°、α=100°或α=160°．
①∵△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=∠ADO=60°，
∵∠CDO=60°，△ADC由△BOC旋转而成，
∴α=∠ADO+∠CDO=120°．
∵∠AOD=∠DOC=60°，
∴β=360°-α-∠AOD-∠DOC=360°-120°-60°-60°=120°；

②能．
理由：若四边形ADCO能成为平行四边形，
∵∠OCD=60°，
∴∠OCD=∠ADO=60°，
∴∠AOC=∠ADC=

360°-∠OCD-∠OAD

2

=

360°-60°-60°

2

=120°，
∴当α=β=120°时，四边形ADCO是平行四边形．

点评：本题考查的是几何变换综合题，涉及到图形旋转的性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定等知识，难度适中．