Question

【题目】如图，为半⊙O的直径，，是半圆上的三等分点，，与半⊙O相切于点，点为上一动点（不与点，重合），直线交于点，于点，延长交于点，则下列结论正确的是______________．（写出所有正确结论的序号）

①；②的长为；③；④；⑤为定值．

Answer 1

【答案】②⑤

【解析】

①先根据圆的切线的性质可得，再根据半圆上的三等分点可得，然后根据圆周角定理可得，最后假设，根据角的和差、三角形的外角性质可得，这与点为上一动点相矛盾，由此即可得；

②根据弧长公式即可得；

③先根据等边三角形的性质可得，再根据角的和差即可得；

④先根据三角形的外角性质可得，从而可得对应角与不可能相等，由此即可得；⑤先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，由此即可得．

如图，连接OP

与半⊙O相切于点

是半圆上的三等分点

是等边三角形

由圆周角定理得：

假设，则

又点为上一动点

不是一个定值，与相矛盾

即PB与PD不一定相等，结论①错误

则的长为，结论②正确

是等边三角形，

，则结论③错误

，即对应角与不可能相等

与不相似，则结论④错误

在和中，

，即

又是等边三角形，

即为定值，结论⑤正确

综上，结论正确的是②⑤

故答案为：②⑤．