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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,过点G作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点G作GD⊥AC于D,下列四个结论: ①EF=BE+CF;
②∠BGC=90°+ ∠A;
③点G到△ABC各边的距离相等;
④设GD=m,AE+AF=n,则SAEF=mn.
其中正确的结论是

【答案】①②③
【解析】解:①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G, ∴∠EBG=∠CBG,∠BCG=∠FCG.
∵EF∥BC,
∴∠CBG=∠EGB,∠BCG=∠CGF,
∴∠EBG=∠EGB,∠FCG=∠CGF,
∴BE=EG,GF=CF,
∴EF=EG+GF=BE+CF,故本小题正确;
②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,
∴∠GBC+∠GCB= (∠ABC+∠ACB)= (180°﹣∠A),
∴∠BGC=180°﹣(∠GBC+∠GCB)=180°﹣ (180°﹣∠A)=90°+ ∠A,故本小题正确;
③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,
∴点G是△ABC的内心,
∴点G到△ABC各边的距离相等,故本小题正确;
④连接AG,
∵点G是△ABC的内心,GD=m,AE+AF=n,
∴SAEF= AEGD+ AFGD= (AE+AF)GD= nm,故本小题错误.
所以答案是:①②③.

【考点精析】关于本题考查的平行线的性质和角平分线的性质定理,需要了解两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补;定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 定理2:一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上才能得出正确答案.

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租金(单位:元/台时)

挖掘土石方量(单位:m3/台时)

甲型挖掘机

100

60

乙型挖掘机

120

80


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