【题目】在平面直角坐标系中,正方形.... 按如图的方式放置.点和点分别落在直线和轴上.抛物线过点,且顶点在直线上,抛物线过点,且顶点在直线上,...按此规律,抛物线,过点, 且顶点也在直线上,其中抛物线交正方形的边于点,抛物线交正方形的边于点(其中且为正整数) .
(1)直接写出下列点的坐标: , ;
(2)写出抛物线的解析式,并写出抛物线的解析式求解过程,再猜想抛物线的顶点坐标;
(3)设,试判断与的数量关系并说明理由.
【答案】(1);(2)抛物线的解析式为:,抛物线的解析式为,抛物线的解析式过程见解析;抛物线的顶点坐标为;(3)与的数量关系为,理由见解析.
【解析】
(1)先求出A1坐标,根据正方形性质,求出B1坐标,进而求出A2坐标,最后求出B2坐标;
(2)根据A2点B2的坐标求出抛物线的对称轴,根据的顶点在上求出顶点坐标,进而利用顶点式求出解析式;根据A3B3的坐标求出抛物线的对称轴,根据的顶点在上求出顶点坐标,进而利用顶点式求出解析式;写出三条抛物线的顶点坐标,找出规律,写出 的顶点坐标;
(3)根据(2)求出D1,D2坐标,进而求出,,,长, 最后求出,比较即可 .
解:(1)把x=0代入得y=-1,∴点A1坐标为(0,-1) ;
∵四边形 是正方形
∴A1 B1=1,∴点B1坐标为(0,-1) ;
把x=1代入得y=-2,∴点A2坐标为(1,-2) ;
∵四边形是正方形
∴A2 B2=2,∴点B2坐标为(3,-2) ;
∴
(2)解:由(1)得点A2坐标为(1,-2),点B2坐标为(3,-2),
抛物线的对称轴为直线
把代入得,
抛物线的顶点为
设抛物线的解析式为:
抛物线过点
当时,
解得
抛物线的解析式为:
把代入得,∴点A3坐标为(3,-4)
∵四边形 是正方形
∴A3 B3=4,∴点B3坐标为(7,-4) ;
∴抛物线的对称轴为直线
把代入得,
抛物线的顶点为
设抛物线的解析式为: ,
抛物线过点
解得
抛物线的解析式为:,
根据抛物线的顶点为
抛物线的顶点为,
抛物线的顶点为
得抛物线的顶点坐标为
(3)与的数量关系为
理由如下;由(2)得抛物线的解析式为
当时,
解得(舍去)
即
由(2)得抛物线的解析式为
当时,
解得(舍去)
即
.
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【题目】随着人们“节能环保,绿色出行”意识的增强,越来越多的人喜欢骑自行车出行,也给自行车商家带来商机.某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元.今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元.若该型车的销售数量与去年相同,那么今年的销售总额将比去年减少10%,求:
(1)A型自行车去年每辆售价多少元?
(2)该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆,且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍.已知,A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元,计划B型车销售价格为2400元,应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多?
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【题目】如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,AC于E,F两点,再分别以E,F为圆心,大于EF长为半径作圆弧,两条圆弧交于点P,连接AP,交CD于点M,若∠ACD=110°,则∠CMA的度数为( )
A.30°B.35°C.70°D.45°
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【题目】欧几里得在《几何原本》中,记载了用图解法解方程的方法,类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根.如图,一张边长为1的正方形的纸片,先折出、的中点、,再折出线段,然后通过沿线段折叠使落在线段上,得到点的新位置,并连接、,此时,在下列四个选项中,有一条线段的长度恰好是方程的一个正根,则这条线段是( )
A.线段B.线段C.线段D.线段
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【题目】我们规定,以二次函数的二次项系数的2倍为一次项系数,一次项系数为常数项构造的一次函数叫做二次函数的“子函数”,反过来,二次函数叫做一次函数的“母函数”.
(1)若一次函数是二次函数的“子函数”,且二次函数经过点,求此二次函数的解析式.
(2)如图,已知二次函数的“子函数”图象直线与轴、轴交于、两点,点是直线上方的抛物线上任意一点,求的面积的最大值.
(3)已知二次函数与它的“子函数”的函数图象有两个交点,,且,求的值;
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【题目】2019年中国北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行.世园会为满足大家的游览需求,倾情打造了条各具特色的趣玩路线,分别是:.“解密世园会”、.“爱我家, 爱园艺”、.“园艺小清新之旅”、.“快速车览之旅”.李明和张春各自在这条线路中任意选择一条线路游览,每条线路被选择的可能性相同.
(1)李明选择线路.“ 爱我家,爱园艺”的概率为 ;
(2)用画树状图或列表的方法,求李明和张春恰好选择同一线路游览的概率.
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【题目】自从开展“创建全国文明城区“工作以来,门头沟区便掀起了“门头沟热心人“志愿服务的热潮,区教委也号召各校学生积极参与到志愿服务当中.为了解甲、乙两所学校学生一周志愿服务情况,从这两所学校中各随机抽取40名学生,分别对他们一周的志愿服务时长(单位:分钟)数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息:
a.甲校40名学生一周的志愿服务时长的扇形统计图如图(数据分成6组:):
A: B:
C: D:
E: F:
b.甲校40名学生一周志愿服务时长在这一组的是:
60 60 62 63 65 68 70 72 73 75 75 76 80 80
c.甲、乙两校各抽取的40名学生一周志愿服务时长的平均数、中位数、众数如下:
学校 | 平均数 | 中位数 | 众数 |
甲校 | 75 | 90 | |
乙校 | 75 | 76 | 85 |
根据以上信息,回答下列问题:
(1)_____________;
(2)根据上面的统计结果,你认为____①_____所学校学生志愿服务工作做得好(填“甲“或“乙“),理由______②________________________________________________________;
(3)甲校要求学生一周志愿服务的时长不少于60分钟,如果甲校共有学生800人,请估计甲校学生中一周志愿服务时长符合要求的有_______人.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴负半轴交于B,与正半轴交于点C(8,0),且∠BAC=90°.
(1)求该二次函数解析式;
(2)若N是线段BC上一动点,作NE∥AC,交AB于点E,连结AN,当△ANE面积最大时,求点N的坐标;
(3)若点P为x轴上方的抛物线上的一个动点,连接PA、PC,设所得△PAC的面积为S.问:是否存在一个S的值,使得相应的点P有且只有2个?若有,求出这个S的值,并求此时点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,四边形ABCD是正方形,ΔECG是等腰直角三角形,∠BGE的平分线过点D交BE 于H,O是EG的中点,对于下面四个结论:①GH⊥BE;②OH∥BG,且;③;④△EBG的外接圆圆心和它的内切圆圆心都在直线HG上.其中表述正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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